Напіврегулярний простір

Напіврегулярним простором називається топологічний простір у якому регулярні відкриті множини (тобто множини які є рівними внутрішності свого замикання) утворюють базу топології. Якщо X є довільним простором, то простір $X_{s}$ породжений регулярними відкритими множинами простору X називається напіврегуляризацією X. У цих позначеннях X є напіврегулярним, якщо $X_{s}=X.$

Приклади

• Кожен регулярний простір X є напіврегулярним.

Очевидно, що весь простір X є регулярною відкритою множиною. Нехай тепер $O_{1},O_{2}$ — регулярні відкриті множини і $x\in O_{1}\cap O_{2}.$ Тоді, згідно із одним із означень регулярного простору, існує відкрита множина $U$ для якої $x\in U\subseteq {\bar {U}}\subseteq O_{1}\cap O_{2}.$ Позначаючи через $V$ внутрішність множини ${\bar {U}}$ отримаємо, що $V$ є регулярною відкритою множиною і $x\in V\subseteq {\bar {U}}\subseteq O_{1}\cap O_{2}.$ Подібним чином для відкритої множини $O$ і $x\in O$ можна знайти регулярну відкриту множину $V$ для якої $x\in V\subseteq O.$ Отже регулярні відкриті множини у цьому випадку дійсно утворюють базу топології.

• Натомість напіврегулярні простори можуть не бути регулярними. Прикладами гаусдорфових напіврегулярних просторів, що не є регулярними є спрощений квадрат Аренса і топологія ірраціонального схилу.
• Екстремально незв'язний напіврегулярний простір є регулярним.

Властивості

• Кожен топологічний простір можна вкласти у напіврегулярний простір. Для цього, наприклад, на множині $X\times I$ можна ввести топологію за допомогою околів. Якщо $y>0$ то околами точки $(x,y)$ є інтервальні околи $\{(x,z)\ |\ y-\varepsilon <z<y+\varepsilon \}.$ Для $y=0$ околами точки $(x,0)$ будуть $\{(x',z)\ |\ x'\in U,0\leqslant z<\varepsilon _{x'}\},$ де $U$ — деякий окіл точки x і для кожного $x'\in U$ число $\varepsilon _{x}$ є деяким малим додатнім числом. Отриманий таким чином простір є напіврегулярним і X є гомеоморфним замкнутому ніде не щільному підпростору $\{(x,0)\ |\ x\in X\}.$

Як наслідок, підпростір напіврегулярного простору може не бути напіврегулярним. Тобто властивість напіврегулярності не є спадковою.

• Якщо $U\subset X$ є відкритою підмножиною напіврегулярного простору, то U є напіврегулярним простором. Тобто властивість напіврегулярності є відкрито спадковою.
• Нехай $D\subset X$ є щільною підмножиною. Тоді $D_{s}$ є щільною підмножиною $X_{s}$ і, як наслідок, властивість напіврегулярності успадковується на щільних підмножинах.
• Об'єднання двох напіврегулярних топологічних просторів може не бути напіврегулярним простором. Наприклад можна розглянути простір $\mathbb {R} '$ на множині дійсних чисел із топологією, що є мінімальним розширенням звичайної топології при якому множина раціональних чисел є відкритою. Для $a,b\in \mathbb {R}$ і $a<b,$ то внутрішність замикання множини $(a,b)\cap \mathbb {Q}$ є рівною $(a,b).$ Оскільки $(a,b)\not \subset \mathbb {Q}$ то відкрита множина $\mathbb {Q}$ не містить жодної регулярної відкритої множини. Тому простір $\mathbb {R} '$ не є напіврегулярним. Натомість підпростори $\mathbb {Q}$ і $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ простору $\mathbb {R} '$ мають ту ж топологію, як і при розгляді їх як підпросторів $\mathbb {R} .$ Тому вони є регулярними і тому також і напіврегулярними.

Див. також

• Регулярний простір

Література

• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
• Porter, Jack R.; Woods, R. Grant (1988), Extensions and Absolutes of Hausdorff Spaces, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-8316-4
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover. ISBN 0-486-43479-6.