Топологічний векторний простір

Означення

Топологічний векторний простір над топологічним полем $K$ — векторний простір $E$ над $K$, наділений топологією, що узгоджується зі структурою векторного простору, тобто задовольняє наступним аксіомам:

1. відображення $(x_{1},x_{2})\to x_{1}+x_{2},\ E\times E\to E$ є неперервним;
2. відображення $(k,x)\to kx,\ K\times E\to E$ є неперервним

В цих означеннях добутки $E\times E$ і $K\times E$ наділені добутками відповідних топологій).

Цілком аналогічно можна визначити топологічний лівий і правий векторний простори над (не обов'язково комутативним) топологічним тілом. Для позначення топологічного векторного простору $E$ з топологією $\tau$ іноді використовується символ $(E,\tau )$.

Топологічні векторні простори $E_{l}$ і $E_{2}$ над одним і тим же топологічним полем $K$ називаються ізоморфними, якщо існує неперервне лінійне взаємно однозначне відображення $E_{1}$ на $E_{2}$, обернене до якого також є неперервним. Розмірністю топологічного векторного простору $(E,\tau )$ називається розмірність векторного простору $E$.

Властивості

• Нехай $(E,\tau )$ — топологічний векторний простір над топологічним полем $K$. Топологія $\tau$ є інваріантною щодо зсувів (тобто відображення $x\to x+a$ є гомеоморфізмом на себе для кожного $a\in E$). Як наслідок топологія $\tau$ однозначно визначається базою околів довільної фіксованої точки (зокрема, нуля).

• Для того щоб простір $(E,\tau )$ був гаусдорфовим, необхідно і достатньо, щоб для будь-якої точки $x\in E,\ x\neq 0$ існував окіл нуля, що не містить $x$.
• Якщо простір $(E,\tau )$ є гаусдорфовим, то він є цілком регулярним.
• В просторі $(E,\tau )$ існує єдина рівномірна структура, що є інваріантною щодо зсувів (тобто для неї всі зсуви є рівномірно неперервними відображеннями) і асоційована з нею топологія збігається з вихідною топологією простору. Множина в топологічному векторному просторі називається повною, якщо вона є повною щодо цієї рівномірної структури.

• Топологічний векторний простір $(E,\tau )$ є повним, якщо кожен фільтр Коші в $(E,\tau )$ є збіжним.

• Для будь-якого топологічного векторного простору $E$ існує повний топологічний векторний простір над тим же полем, що містить $E$ як усюди щільну підмножину і індукує на $E$ вихідні лінійну структуру і топологію. Цей простір називається поповненням простору $E$.

• Будь-який гаусдорфів топологічний векторний простір $E$ має гаусдорфове поповнення, що є єдиним з точністю до ізоморфізму, що залишає нерухомими елементи простору $E$.

• Нехай тепер $K$ — недискретне нормоване поле, наділене топологією, яка визначається нормою. Якщо $E$ — векторний простір над $K$, то множина $Q\subset E$ називається збалансованою (або врівноваженою), якщо $kQ\subset Q$ для всіх $k\in K,\;|k|\leqslant 1$. Якщо $A$ і $B$ — дві підмножини в $E$, то кажуть, що $A$ поглинає $B$, якщо існує таке додатне число $r$, що $kA\supset B$ при $k\in K,\;|k|>r$. Підмножина простору $E$ називається поглинаючою (або радіальною), якщо вона поглинає кожну одноточкову множину. У всякому топологічному векторному просторі над $K$ існує база ${\mathcal {U}}$ замкнутих околів нуля з наступними властивостями:

1. для будь-якої множини $V\in {\mathcal {U}}$ існує $W\in {\mathcal {U}}$ таке, що $W+W\subset V$;
2. кожна підмножина $V\in {\mathcal {U}}$ є збалансованою і поглинаючою;
3. якщо $V\in {\mathcal {U}}$, то і $kV\in {\mathcal {U}}$ для всякого $k\in K,\;k\neq 0.$

• З іншого боку, нехай $\tau$ — топологія в векторному просторі $E$ над $K$, що є інваріантною щодо зсувів і має базу околів нуля, що задовольняє властивості властивості (1) і (2) вище, а також властивість: За) існує таке $k\in K,\;\;0<|k|<1$, що, якщо $V\in {\mathcal {U}}$, то і $kV\in {\mathcal {U}}$. Тоді $E$ з топологією $\tau$ є топологічним векторним простором над $K$ (в тому випадку, коли норма в полі $K$ є архімедовою, (За) є наслідком інших вимог, накладених на $(E,\tau )$). Всякий базис фільтра ${\mathcal {U}}$ у векторному просторі $E$ над $K$, що задовольняє властивостями (1), (2), (За) є фундаментальною системою околів нуля (не обов'язково замкнутих) деякої однозначно визначеної топології $\tau$ в $E$, що узгоджується зі структурою векторного простору в $E$. У топологічному векторному просторі над полем дійсних чисел $\mathbb {R}$ або над полем комплексних чисел $\mathbb {C}$ його топологія називається локально опуклою, якщо $\tau$ має базу околів нуля, що складається з опуклих множин (іноді в визначення локально опуклого простору включається ще вимога його гаусдорфовості).

Література

• Grothendieck, A. (1973). Topological vector spaces. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 0-677-30020-4.
• Kothe, G. (1983) [1969]. Topological vector spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Т. 159. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-64990-5.
• Kothe, G. (1979). Topological vector spaces II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Т. 237. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4684-9411-2.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, M. P. (1999) [1966]. Topological vector spaces. GTM. Т. 3 (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98726-2.
• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 0-201-04166-9.
• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Т. 53. Cambridge University Press.
• Rudin, Walter (1991) [1973], Functional Analysis (вид. 2nd), McGraw–Hill, ISBN 0-07-054236-8, MR 1157815
• Treves, F. (1967). Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press. ISBN 0-486-45352-9.