Теорема де Гуа

Теорема де Гуа — одне з узагальнень теореми Піфагора на старші розмірності. Висічемо з куба піраміду, відрізавши площиною одну з його вершин. Тоді для такої піраміди вірно наступне співвідношення: квадрат площі грані протилежної вершині куба (вершині при прямому куті) дорівнює сумі квадратів площ граней прилеглих до цього кута.

S_{ABC}^{2}=S_{\color {blue}ABO}^{2}+S_{\color {green}ACO}^{2}+S_{\color {red}BCO}^{2}.

Іншими словами, якщо ми замінимо плоский прямий кут тривимірним, відрізки — гранями, а трикутник — пірамідою, то теорема знову виявиться вірною, але не для довжини сторін, а для площ граней отриманої піраміди. Існує узагальнення цієї теореми для N-вимірного простору.

Історія

У 1783 році теорема була опублікована за авторством Жана Поля де Гуа (1713-85), але приблизно в той же час, трохи більш загальне твердження було опубліковано іншим французьким математиком Tinseau d'Amondans (1746–1818). Однак ще раніше вона була відома Рене Декарту (1596–1650) і до нього Йогану Фульгаберу^[en] (1580–1635), який, ймовірно, першим відкрив її у 1622 році^[1]^[2].

Доведення теореми

Доведення 1

Доведення.

Виразимо ребра "OA", "OB" і "OC" прямокутного тетраедра через поодинокі координатні вектори ${\vec {e}}_{1}$ , ${\vec {e}}_{2}$ і ${\vec {e}}_{3}$ :

OA=a{\vec {e}}_{1};\quad OB=b{\vec {e}}_{2};\quad OC=c{\vec {e}}_{3},

де $~a,b,c$ - довжини відповідних сторін тетраедра.

Для векторів AB і АС маємо:

AB=b{\vec {e}}_{2}-a{\vec {e}}_{1};\quad AC=c{\vec {e}}_{3}-a{\vec {e}}_{1}.

Оскільки площа трикутника дорівнює половині векторного добутку двох його сторін,

S_{ABC}={\frac {1}{2}}(b{\vec {e}}_{2}-a{\vec {e}}_{1})\times (c{\vec {e}}_{3}-a{\vec {e}}_{1}).

Піднісши останній вираз до квадрату і розкривши дужки з урахуванням того, що попарні векторні добутки одиничних координатних векторів дорівнюють одиниці, отримаємо

S_{ABC}^{2}={\frac {1}{4}}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}).

Площі граней "ABO", "ACO" і "BCO" рівні

S_{ABO}={\frac {ab}{2}};\quad S_{ACO}={\frac {ac}{2}};\quad S_{BCO}={\frac {bc}{2}},

звідки

S_{ABC}^{2}=S_{ABD}^{2}+S_{ACD}^{2}+S_{BCD}^{2}.

Доведення 2

Доведення.

Відомо, що площа проєкції плоскої фігури на деяку площину дорівнює площі цієї фігури, помноженої на косинус двогранного кута між фігурою і площиною проєкції. Проєкціями трикутника "ABC" на координатні площини є трикутники "ABO", "ACO" і "BCO". Тому

~S_{ABO}=S_{ABC}\cos \alpha ;\quad S_{ACO}=S_{ABC}\cos \beta ;\quad S_{BCO}=S_{ABC}\cos \gamma ,

де $~\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ - напрямні косинуси нормалі до площини "ABC".

Згідно властивості напрямних косинусів

~\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,

звідки

~S_{ABC}^{2}=S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\alpha +S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\beta +S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\gamma

і

S_{ABC}^{2}=S_{ABO}^{2}+S_{ACO}^{2}+S_{BCO}^{2}.

Доведення 3

Теорема може бути доведена з формули Герона для площі трикутника і теореми Піфагора.

Узагальнення

Теорема Піфагора і теорема де Гуа є окремим випадком для (n = 2, 3) більш загальної теореми стосовно n-симплексів з прямокутним кутом. Це, в свою чергу, є окремим випадком ще більш загальної теореми, яка може бути сформульована наступним чином.^[3]

Нехай P є k-вимірною площиною в $\mathbb {R} ^{n}$ (так, що $k\leqslant n$ ) і нехай C є компактною підмножиною P. Для будь-якої підмножини $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ з точно k елементами, нехай $C_{I}$ буде ортогональною проєкцією C на лінійну оболонку векторів $e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}$ , де $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ і $e_{1},\ldots ,e_{n}$ утворюють стандартний базис в $\mathbb {R} ^{n}$ . Тоді

{\mbox{vol}}_{k}^{2}(C)=\sum _{I}{\mbox{vol}}_{k}^{2}(C_{I}),

де ${\mbox{vol}}_{k}(C)$ — це k-вимірний об'єм C і сума береться по всім підмножинам $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ з рівно k елементами.

Власно кажучи, це є передгільбертовою версією теореми Піфагора, застосованою до k-го зовнішнього ступеня n-вимірного Евклідову простору. Теорема де Гуа та ці узагальнення на n-симплекси з прямими кутами відповідають спеціальному випадку, коли k = n−1 та C є (n−1)-симплекс в $\mathbb {R} ^{n}$ з вершинами на координатних осях.

Див. також

Піфагорова четвірка

Примітки

↑ Weisstein, Eric W. de Gua's theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
↑ Hans-Bert Knoop: Ausgewählte Kapitel zur Geschichte der Mathematik. Lecture Notes (University of Düsseldorf), p. 55 (§ 4 Pythagoreische n-Tupel, p. 50-65 [Архівовано 4 квітня 2012 у Wayback Machine.]) (German)
↑ Theorem 9 of James G. Dowty (2014). Volumes of logistic regression models with applications to model selection. arXiv:1408.0881v3 [math.ST ] [Архівовано 15 вересня 2016 у Wayback Machine.]

Література

Kheyfits, Alexander (2004). The Theorem of Cosines for Pyramids. The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 35 (5): 385—388. JSTOR 4146849. - доведення теореми де Гуа й узагальнення на довільні тетраедри та піраміди.

Посилання

Weisstein, Eric W. Теорема Де Гуа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Sergio A. Alvarez: Нотатки про n-мірну теорему Піфагора [Архівовано 2 жовтня 2012 у Wayback Machine.], Carnegie Mellon University.
Теорема Де Гуа та теорема Піфагора у 3-D [Архівовано 3 квітня 2013 у Wayback Machine.] — графічні ілюстрації та пов'язані властивості тетраедра.

[1] Weisstein, Eric W. de Gua's theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[2] Hans-Bert Knoop: Ausgewählte Kapitel zur Geschichte der Mathematik. Lecture Notes (University of Düsseldorf), p. 55 (§ 4 Pythagoreische n-Tupel, p. 50-65 [Архівовано 4 квітня 2012 у Wayback Machine.]) (German)

[3] Theorem 9 of James G. Dowty (2014). Volumes of logistic regression models with applications to model selection. arXiv:1408.0881v3 [math.ST ] [Архівовано 15 вересня 2016 у Wayback Machine.]

[1]

[2]

[3]