Піфагорова четвірка

Піфагорова четвірка — кортеж цілих чисел $(a,b,c,d)$ таких, що $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$ , при цьому d > 0. Піфагорова четвірка $(a,b,c,d)$ визначає прямокутний паралелепіпед із довжинами сторін |a|, |b| та |c|, діагональ якого має довжину d. Піфагорові четвірки також називають піфагоровими блоками^[1].

Параметризація простих четвірок ред.

Множина простих піфагорових четвірок, тобто тих, для яких НСД(a,b,c) = 1, має параметризацію^[2]^[3]^[4]

a=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},

b=2(mq+np),

c=2(nq-mp),

d=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},

де m, n, p, q — натуральні цілі, НСД(m,n,p,q) = 1 і m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Таким чином, усі прості піфагорові четвірки описує тотожність Лебега^[5]

(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.

Альтернативна параметризація ред.

Всі піфагорові четвірки (включно з непростими та з повтореннями) можна отримати з двох натуральних чисел a і b в такий спосіб: Якщо $a$ і $b$ мають різну парність, візьмемо будь-який множник p числа $a^{2}+b^{2}$ такий, що $p^{2}<a^{2}+b^{2}$ . Тоді $c=(a^{2}+b^{2}-p^{2})/(2p)$ і $d=(a^{2}+b^{2}+p^{2})/(2p).$ Зауважимо, що $p={d-c}.$

Схожий метод існує^[6] для $a,b$ парних з додатковим обмеженням, що $2p$ має бути парним дільником числа $a^{2}+b^{2}.$ Такого методу немає для випадку, коли обидва числа a і b непарні.

Властивості ред.

Найбільше число, яке завжди ділить добуток abcd, дорівнює 12^[7]. Четвірка з найменшим добутком — (1, 2, 2, 3).

Зв'язок з кватерніонами та раціональними ортогональними матрицями ред.

Проста піфагорова четвірка $(a,b,c,d)$ , параметризована за допомогою $(m,n,p,q)$ , відповідає першому стовпцю матричного подання $E(\alpha )$ спряження $\alpha (\cdot ){\overline {\alpha }}$ за допомогою кватерніона Гурвіца $\alpha =m+ni+pj+qk$ , звуженого до підпростору $\mathbb {H}$ , натягнутого на $i,j,k$

E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},

де стовпці попарно ортогональні і кожен має норму d. Більш того, ${\frac {1}{d}}E(\alpha )$ $\in {\text{SO}}(3,\mathbb {Q} )$ , і фактично всі 3 × 3 ортогональні матриці з раціональними коефіцієнтами з'являються в такий спосіб^[8].

Піфагорові четвірки з нормою d<30 ред.

a	b	c	d
1	2	2	3
2	3	6	7
1	4	8	9
2	6	9	11
4	4	7	9
6	6	7	11
3	4	12	13
2	5	14	15
2	10	11	15
1	12	12	17
8	9	12	17
1	6	18	19
6	6	17	19
6	10	15	19
4	5	20	21
4	8	19	21
4	13	16	21
8	11	16	21
3	6	22	23
3	14	18	23
6	13	18	23
9	12	20	25
12	15	16	25
2	7	26	27
2	10	25	27
2	14	23	27
7	14	22	27
10	10	23	27
3	16	24	29
11	12	24	29
12	16	21	29

Кубічні піфагорові четвірки ред.

Існує окремий тип кубічних піфагорових четвірок (англ. Pythagorean cubic quadruples), тобто таких наборів натуральних чисел $(a,b,c,d)$ , які задовольняють рівняння^[9]:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=d^{3}$

Кубчні піфагорові четвірки можна згенерувати за допомогою спеціальних матриць^[10]. Кубічною піфагоровою четвіркою з найменшою нормою є: $a=3;b=4;c=5;d=6$ ^[9]. Іншими (але не єдиними) прикладами кубічних піфагорових четвірок є^[9]:

a	b	c	d
4	17	22	25
16	23	41	44
16	47	108	111
64	107	405	408
64	155	664	667

Див. також ред.

Примітки ред.

↑ R. A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Pythagorean boxes // Math. Magazine. — 2001. — Т. 74 (30 квітня). — С. 222—227.
↑ R. D. Carmichael. Diophantine Analysis. — New York : John Wiley & Sons, 1915. — Т. 16. — (MATHEMATICAL MONOGRAPHS)
↑ L. E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41—56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579—594.
↑ R. Spira. The diophantine equation $x^{2}+y^{2}+z^{2}=m^{2}$ // Amer. Math. Monthly. — 1962. — Т. 69 (30 квітня). — С. 360—365.
↑ Lebesgue Identity. Архів оригіналу за 23 січня 2022. Процитовано 23 січня 2022.
↑ В. Серпинский. Пифагоровы треугольники. — М. : Учпедгиз, 1959. — С. 68.
↑ Des MacHale, Christian van den Bosch. Generalising a result about Pythagorean triples // Mathematical Gazette. — 2012. — Т. 96 (1 березня). — С. 91—96.
↑ J. Cremona. Letter to the Editor // Amer. Math. Monthly. — 1987. — Т. 94 (30 квітня). — С. 757—758.
↑ ^а ^б ^в Scheinman, Dr. Louis J. (1 лютого 2006). On the Solution of the Cubic Pythagorean Diophantine Equation $x^3 + y^3 + z^3 = a^3$. Missouri Journal of Mathematical Sciences. Т. 18, № 1. doi:10.35834/2006/1801003. ISSN 0899-6180. Процитовано 19 січня 2024.
↑ Mouanda, Joachim Moussounda (2023). On Matrix Solutions in M9(N) of the Cubic Pythagorean Diophantine Equation X^3 + Y^3 + Z^3 = D^3 (PDF) (англійською) . Blessington Christian University, Mathematics Department Nkayi, Республіка Конго: Blessington Christian University. с. 1—6.

Посилання ред.

Weisstein, Eric W. Піфагорова четвірка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Тотожність Лебега(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Carmichael. Diophantine Analysis у проєкті «Гутенберг»
The complete parametrization derived using a Minkowskian Clifford Algebra

[1] R. A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Pythagorean boxes // Math. Magazine. — 2001. — Т. 74 (30 квітня). — С. 222—227.

[2] R. D. Carmichael. Diophantine Analysis. — New York : John Wiley & Sons, 1915. — Т. 16. — (MATHEMATICAL MONOGRAPHS)

[3] L. E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41—56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579—594.

[4] R. Spira. The diophantine equation $x^{2}+y^{2}+z^{2}=m^{2}$ // Amer. Math. Monthly. — 1962. — Т. 69 (30 квітня). — С. 360—365.

[5] Lebesgue Identity. Архів оригіналу за 23 січня 2022. Процитовано 23 січня 2022.

[6] В. Серпинский. Пифагоровы треугольники. — М. : Учпедгиз, 1959. — С. 68.

[7] Des MacHale, Christian van den Bosch. Generalising a result about Pythagorean triples // Mathematical Gazette. — 2012. — Т. 96 (1 березня). — С. 91—96.

[8] J. Cremona. Letter to the Editor // Amer. Math. Monthly. — 1987. — Т. 94 (30 квітня). — С. 757—758.

[:0-9] а ^б ^в Scheinman, Dr. Louis J. (1 лютого 2006). On the Solution of the Cubic Pythagorean Diophantine Equation $x^3 + y^3 + z^3 = a^3$. Missouri Journal of Mathematical Sciences. Т. 18, № 1. doi:10.35834/2006/1801003. ISSN 0899-6180. Процитовано 19 січня 2024.

[10] Mouanda, Joachim Moussounda (2023). On Matrix Solutions in M9(N) of the Cubic Pythagorean Diophantine Equation X^3 + Y^3 + Z^3 = D^3 (PDF) (англійською) . Blessington Christian University, Mathematics Department Nkayi, Республіка Конго: Blessington Christian University. с. 1—6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

a	b	c	d
1	2	2	3
2	3	6	7
1	4	8	9
2	6	9	11
4	4	7	9
6	6	7	11
3	4	12	13
2	5	14	15
2	10	11	15
1	12	12	17
8	9	12	17
1	6	18	19
6	6	17	19
6	10	15	19
4	5	20	21
4	8	19	21
4	13	16	21
8	11	16	21
3	6	22	23
3	14	18	23
6	13	18	23
9	12	20	25
12	15	16	25
2	7	26	27
2	10	25	27
2	14	23	27
7	14	22	27
10	10	23	27
3	16	24	29
11	12	24	29
12	16	21	29

a	b	c	d
1	2	2	3
2	3	6	7
1	4	8	9
2	6	9	11
4	4	7	9
6	6	7	11
3	4	12	13
2	5	14	15
2	10	11	15
1	12	12	17
8	9	12	17
1	6	18	19
6	6	17	19
6	10	15	19
4	5	20	21
4	8	19	21
4	13	16	21
8	11	16	21
3	6	22	23
3	14	18	23
6	13	18	23
9	12	20	25
12	15	16	25
2	7	26	27
2	10	25	27
2	14	23	27
7	14	22	27
10	10	23	27
3	16	24	29
11	12	24	29
12	16	21	29

a	b	c	d
1	2	2	3
2	3	6	7
1	4	8	9
2	6	9	11
4	4	7	9
6	6	7	11
3	4	12	13
2	5	14	15
2	10	11	15
1	12	12	17
8	9	12	17
1	6	18	19
6	6	17	19
6	10	15	19
4	5	20	21
4	8	19	21
4	13	16	21
8	11	16	21
3	6	22	23
3	14	18	23
6	13	18	23
9	12	20	25
12	15	16	25
2	7	26	27
2	10	25	27
2	14	23	27
7	14	22	27
10	10	23	27
3	16	24	29
11	12	24	29
12	16	21	29