Міра Гаусдорфа

Міра Гаусдорфа — збірна назва класу мір, визначених на борелівській $\sigma$-алгебрі ${\mathcal {B}}(X)$ метричного простору $X$.

Визначення

Ф. Гаусдорф розглядав деякий клас ${\mathcal {U}}$ відкритих множин $X$, на якому визначив невід'ємну функцію $l=\{l(A)\mid A\in {\mathcal {U}}\}$ і

$\lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}l(A_{i})\right\},$

де нижня межа береться по всіх скінченних або зліченних покриттях борелівської множини $B\subset X$ множинами з ${\mathcal {U}}$ з діаметром, що не перевищує $\varepsilon$, тобто

$B\subset \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}$

і

$\mathrm {diam} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad n=1,\;2,\;\ldots$

Мірою Гаусдорфа $\lambda$, що визначається класом ${\mathcal {U}}$ і функцією $l$, називається межа

$\lambda (B)=\lim _{\varepsilon \to 0}\lambda (B,\;\varepsilon ).$

Приклади

1. Нехай ${\mathcal {U}}$ — сукупність всіх куль на $X$, a $l(A)=(\mathrm {diam} \,A)^{\alpha }$, де $\alpha >0$. Тоді відповідна міра $\lambda$ буде називатися $\alpha$-мірою Гаусдорфа. При $\alpha =1$ така міра буде називатися лінійною мірою Гаусдорфа, а при $\alpha =2$ — пласкою мірою Гаусдорфа.
2. Якщо $X=\mathbb {R} ^{n+1}$, ${\mathcal {U}}$ — сукупність циліндрів з кульовими основами і осями, паралельними до напрямку осі $x_{n+1}$ и $l(A)$ рівна $n$-мірному об'єму осьового перерізу циліндра $A\in {\mathcal {U}}$, то відповідна міра Гаусдорфа називається циліндричною мірою.

Література

• Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5..