Диферентний ідеал

У алгебраїчній теорії чисел і абстрактній алгебрі диферентним ідеалом або диферентою називається деякий ідеал пов'язаний із розширенням дедекіндових кілець. Диферентний ідеал пов'язаний із поняттями дискримінанта і норми ідеалу і є важливим, зокрема для дослідження розгалуження простих ідеалів.

Означення

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Нехай L — деяка адитивна підгрупа поля E.

Для неї можна ввести доповнюючу множину L' (щодо сліду) як сукупність всіх тих $x\in E$, для яких

$L'=\{x\in E\mid \operatorname {Tr} _{E/K}(xL)\subset A\}.$

L' є адитивною підгрупою у E. Якщо $L\subset M$ — дві адитивні підгрупи, то $M'\subset L'$. Якщо Al = L то також AL' = L'.

Зокрема якщо L = B то B' є дробовим ідеалом кільця B. Оскільки B є дедекіндовим кільцем для дробового ідеалу B' існує обернений дробовий ідеал $B'^{-1}$ у групі дробових ідеалів.

Ідеал $\delta _{E/K}=\delta _{B/A}=B'^{-1}$ називається диферентним ідеалом або диферентою розширення B/A. Диферентний ідеал є звичайним ідеалом кільця B.

У алгебричній теорії чисел цей ідеал також називається відносним диферентним ідеалом. Абсолютним диферентним ідеалом числового поля K називається $\delta _{K/\mathbb {Q} }$. цьому випадку використовується позначення $\delta _{K}$.

Якщо ${\mathfrak {m}}$ — дробовий ідеал кільця B то ${\mathfrak {m}}$ теж є адитивною підгрупою і диферентним ідеалом цього дробового ідеалу називається дробовий ідеал $\delta _{E/K}({\mathfrak {m}})=({\mathfrak {m}}')^{-1}$.

Приклад

Нехай $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$, де $d\in \mathbb {Z}$ — число, вільне від квадратів. Тоді для абсолютного диферентного ідеала:

$\delta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}{\begin{cases}(2{\sqrt {d}}),&d\not \equiv 1\mod 4\\({\sqrt {d}}),&d\equiv 1\mod 4\end{cases}}$

Властивості

• Диферентний ідеал розширення B/A є звичайним ідеалом кільця B. Диферента довільного дробового ідеалу теж є дробовим ідеалом.
• Якщо при тих же позначеннях, що і вище $\delta _{E/K}$ — відносний диферентний ідеал і $\delta _{E/K}({\mathfrak {m}})$ — диферентний ідеал дробового ідеалу ${\mathfrak {m}}$ то $\delta _{E/K}({\mathfrak {m}})={\mathfrak {m}}\delta _{E/K}$.
• Диферентний ідеал породжується елементами виду $F'(x)$, де $x\in B$ і $F'(x)$ — похідна мінімального многочлена елемента $x$ над полем K. Зокрема $B=A[x]$ тоді і тільки тоді коли $\delta _{E/K}$ є головним ідеалом породженим елементом $F'(x)$.
• Якщо $D/E/K$ є скінченними сепарабельними розширеннями з властивостями, як і вище, то

$\delta _{D/K}=\delta _{D/E}\delta _{E/K}$

• Нехай S — мультиплікативна система у кільці A. Тоді $\delta _{S^{-1}B/S^{-1}A}=S^{-1}\delta _{B/A}$, де $S^{-1}(\cdot )$ позначає локалізацію кільця за множиною S.
• $D_{B/A}=N_{B/A}(\delta _{B/A})$, де $D_{B/A}$ позначає відносний дискримінант розширення B/A, а $N_{B/A}(\cdot )$ — норму ідеалу.
• У випадку числових полів клас відносного диферента завжди є квадратом у групі класів ідеалів. У загальному випадку це не так. Наприклад Фреліх і Тейт знайшли приклад скінченного сеперабельного розширення функціональних полів однієї змінної для якого відносний диферент не є квадратом.
• При тих же позначеннях, що і вище і для кожного простого ідеалу ${\mathfrak {p}}$ кільця B позначимо $B_{v({\mathfrak {p}})}$ — поповнення кільця B щодо нормування за ідеалом ${\mathfrak {p}}$. У цьому випадку ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cap A$ є простим ідеалом кільця A і поповнення за цим ідеалом позначимо $A_{v({\mathfrak {q}})}$. Тоді є справедливою рівність:

$\delta _{E/F}=\prod _{\mathfrak {p}}\delta _{B_{v({\mathfrak {p}})}/A_{v({\mathfrak {q}})}},$

Добуток у правій частині має зміст оскільки для всіх простих ідеалів окрім скінченної кількості $\delta _{B_{v({\mathfrak {p}})}/A_{v({\mathfrak {q}})}}=B$.

Диферент і розгалуження простих ідеалів

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Припустимо також, що для будь-якого простого ідеалу ${\mathfrak {B}}$ кільця B поле лишків $B/{\mathfrak {B}}$ є досконалим.

Нехай тепер ${\mathfrak {p}}$ — простий ідеал кільця A. Тоді ${\mathfrak {p}}B=\prod {\mathfrak {B}}_{i}^{e_{i}}$, де ${\mathfrak {B}}_{i}$ — прості ідеали кільця B, що містять ${\mathfrak {p}}$ (їх кількість є скінченною), а $e_{i}$ називаються індексами розгалуження ідеалів ${\mathfrak {B}}_{i}$. Якщо $e_{i}>1$ то кажуть, що відповідний ідеал розгалужується.

Розгалуження є тісно пов'язані із диферентами. А саме простий ідеал ${\mathfrak {B}}_{i}$ розгалужується тоді і тільки тоді коли він ділить диферент $\delta _{B/A}$. До того ж якщо характеристика поля $B/{\mathfrak {B}}_{i}$ не ділить $e_{i}$, то найбільшим степенем ${\mathfrak {B}}_{i}$ на який ділиться $\delta _{B/A}$ є $e_{i}-1$. В іншому випадку $\delta _{B/A}$ ділиться на вищий степінь ідеалу ${\mathfrak {B}}_{i}$.

Див. також

• Дискримінант (теорія полів)
• Норма ідеалу

Література

• Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1991), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 27, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36664-X, Zbl 0744.11001
• Hecke, Erich (1981), Lectures on the theory of algebraic numbers, Graduate Texts in Mathematics, т. 77, New York–Heidelberg–Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90595-2, Zbl 0504.12001
• Koch, Helmut (2000), Number Theory: Algebraic Numbers and Functions, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 9780821820544
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4.
• Narkiewicz, Władysław (1990), Elementary and analytic theory of algebraic numbers (вид. 2nd, substantially revised and extended), Springer-Verlag; PWN-Polish Scientific Publishers, ISBN 3-540-51250-0, Zbl 0717.11045
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, т. 67, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7, Zbl 0423.12016
• Weiss, Edwin (1976), Algebraic Number Theory (вид. 2nd unaltered), Chelsea Publishin, ISBN 0-8284-0293-0, Zbl 0348.12101