Скінченна p-група

Група називається скінченною $p$-групою, якщо вона має порядок, рівний деякому степеню простого числа.

Основні властивості скінченних p-груп

Нехай $P$ — скінченна $p$-група, тоді

• $P$ — нільпотентна;
• $|Z(P)|>1$, де $Z(P)$ — центр групи P;
• для будь-кого $1\leq k<n$ в $P$ існує нормальна підгрупа порядку $p^{k}$;
• якщо $H$ нормальна в $P$, то $|H\cap Z(P)|>1$;
• $P'\leq \Phi (P)$;
• $P/\Phi (P)\cong E_{p^{d}}$.

Деякі класи скінченних p-груп

У цьому розділі описано визначення та властивості деяких класів скінченних $p$-груп, які найчастіше розглядаються в науковій літературі.

p-групи максимального класу

Скінченну $p$-групу порядку $p^{n}$називають групою максимального класу, якщо її степінь нільпотентності дорівнює $n-1$.

Якщо $P$ — скінченна $p$-група максимального класу, то $P'=\Phi (P)$ і $|Z(P)|=p$.

Єдиними 2-групами порядку $2^{n}$ максимального класу є: діедральна група $D_{2^{n}}$, узагальнена група кватерніонів $Q_{2^{n}}$ та напівдіедральна група $SD_{2^{n}}$ .

На відміну від 2-груп, випадок p-груп максимального класу при p>2 значно складніший.

p-центральні p-групи

Скінченну $p$-групу називають $p$-центральною, якщо $\Omega _{1}(P)\leq Z(P)$. Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю потужної $p$-групи.

Потужні p-групи

Скінченну $p$-групу називають потужною, якщо $[P,P]\leq P^{p}$ при $p\neq 2$ і $[P,P]\leq P^{4}$ при $p=2$. Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю $p$-центральної $p$-групи.

Регулярні p-групи

Скінченну $p$-групу $P$ називають регулярною, якщо для будь-яких $x,y\in P$ виконано $(xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p}$, де $c\in P'$. Регулярними є, наприклад, усі абелеві $p$-групи. Групу, яка не є регулярною, називають нерегулярною.

• Будь-яка підгрупа та фактор-група регулярної $p$-групи регулярна.
• Скінченна $p$-група регулярна, якщо її підгрупа, породжена двома елементами, регулярна.
• Скінченна $p$-група порядку не більшого $p^{p}$ є регулярною.
• Скінченна $p$-група, клас нільпотентності якої менше $p$, є регулярною. Також регулярні всі групи класу нільпотентності 2 при $p>2$.
• Будь-яка скінченна неабелева 2-група є нерегулярною.

Скінченні p-групи невеликих порядків

Число різних $p$-груп порядку $p^{n}$

• Число неізоморфних груп порядку $p$ дорівнює 1: група $C_{p}$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{2}$ дорівнює 2: групи $C_{p^{2}}$ і $C_{p}\times C_{p}$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{3}$ дорівнює 5, з них три абелеві групи: $C_{p^{3}}$, $C_{p^{2}}\times C_{p}$, $C_{p}\times C_{p}\times C_{p}$ і дві неабелеві: при $p>2$ — $E_{p^{3}}^{+}$ і $E_{p^{3}}^{-}$ ; при p = 2 — $D_{4}$, $Q_{8}$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{4}$ дорівнює 15 при $p>2$, число груп порядку $2^{4}$ дорівнює 14.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{5}$ дорівнює $2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)$ при $p\geq 5$. Число груп порядку $2^{5}$ дорівнює 51, число груп порядку $3^{5}$ дорівнює 67.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{6}$ дорівнює $3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)$ при $p\geq 5$. Число груп порядку $2^{6}$ дорівнює 267, число груп порядку $3^{6}$ дорівнює 504.
• Число неізоморфних груп порядку $p^{7}$ дорівнює $3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)$ при $p>5$. Число груп порядку $2^{7}$ дорівнює 2328, число груп порядку $3^{7}$ дорівнює 9310, число груп порядку $5^{7}$ дорівнює 34297.

p-групи порядку $p^{n}$, асимптотика

При $n\rightarrow \infty$ число неізоморфних груп порядку $p^{n}$ асимптотично дорівнює $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}$.

Відомі проблеми теорії кінцевих p-груп

Група автоморфізмів скінченної p-групи

Для груп $p$-автоморфізмів скінченної $p$-групи існують нескладні верхні оцінки, проте оцінки знизу значно складніші. Протягом понад півстоліття залишається відкритою така гіпотеза:

• Нехай $P$ є нециклічною $p$-групою порядку $|P|\geq p^{3}$ тоді $|P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|$.

Цю гіпотезу підтверджено для великого класу $p$-груп: абелевих груп, всіх груп порядків не більше $p^{7}$, групи максимального класу. Однак загального підходу до цієї проблеми поки що не знайдено.

Гіпотеза Гігмена

Дж. Томпсон довів відому теорему, яка стверджує, що скінченна група з регулярним автоморфізмом простого порядку $q$ нільпотентна.

• Нехай група $P$ має регулярний автоморфізм простого порядку $q$. Тоді її клас нільпотентності дорівнює $cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4}}$.

Поки що доведено лише значно слабші оцінки: $cl(P)<q^{q}$ (Кострикін, Крекнін).

Послаблена гіпотеза Бернсайда

Гіпотеза Бернсайда полягала в тому, що, якщо є група з $m$ твірними та періодом $n$ (тобто всі її елементи $x$ задовольняють співвідношенню $x^{n}=1$), вона скінченна. Якщо це так, позначимо максимальну з цих груп через $B(m,n)$. Тоді всі інші групи з такою самою властивістю будуть її фактор-групами. Справді, як легко показати, група $B(m,2)$ є елементарною абелевою 2-групою. Ван дер Варден довів, що порядок групи $B(m,3)$ дорівнює $3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6}}$. Однак, як показали Новіков і Адян, при $m\geq 2$ і за будь-якого непарного $n\geq 4381$ група $B(m,n)$ нескінченна.

Послаблена гіпотеза Бернсайда стверджує, що порядки скінченних $m$-породжених груп періоду $n$ обмежені. Цю гіпотезу довів Юхим Зельманов. Для скінченних $p$-груп вона означає, що існує лише скінченне число $p$-груп даної експоненти та з цим числом твірних.

Нерегулярні p-групи

Класифікація нерегулярних $p$-груп порядку $p^{p+1}$

Див. також

• GAP (система комп'ютерної алгебри)

Література

• Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 прим. — ISBN 5-88688-060-7.
• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
• Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
• Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
• Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
• Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
• Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
• Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
• Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
• Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.