Рівняння електромагнітної хвилі

Рівняння електромагнітної хвилі - це диференціальне рівняння з частковими похідними другого порядку, за допомогою якого можна описати поширення електромагнітних хвиль у середовищі або у вакуумі . Це тривимірна форма хвильового рівняння . Однорідна форма рівняння, записана через електричне поле E або магнітне поле B, має вигляд:

${\begin{aligned}\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}$

де

$v_{ph}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$

- швидкість світла (тобто фазова швидкість ) у середовищі з магнітною проникністю μ та діелектричною проникністю ε, а ∇² - оператор Лапласа . У вакуумі v_ph = c₀ = 299,792,458 метрів на секунду - основна фізична стала . Рівняння електромагнітної хвилі випливає з рівнянь Максвелла . У більшості старих літературних джерел B називають густиною магнітного потоку або магнітною індукцією .

Походження рівняння електромагнітної хвилі

Листівка від Максвелла до Пітера Тейта .

У своїй статті 1865 року під назвою «Динамічна теорія електромагнітного поля» Максвелл використав виправлення до циркулярного закону Ампера, яке він вніс у частину III статті 1861 року « Про фізичні сили». У частині VI своєї роботи 1864 року, під назвою "Електромагнітна теорія світла" Максвелл поєднав струм переміщення з деякими іншими рівняннями електромагнетизму, і отримав хвильове рівняння зі швидкістю, що дорівнює швидкості світла. Він прокоментував:

Узгодженість результатів, здається, показує, що світло і магнетизм - це вплив однієї і тієї ж речовини, і що світло - це електромагнітне збурення, що поширюється полем відповідно до електромагнітних законів.

Висновок Максвелла про рівняння електромагнітних хвиль було замінено у сучасній фізичній освіті набагато менш громіздким методом, що передбачає поєднання виправленої версії закону Ампера з законом Індукції Фарадея .

Щоб отримати рівняння електромагнітної хвилі у вакуумі за допомогою сучасних методів, ми почнемо з сучасної форми рівнянь Максвелла у формі " Хевісайда" . У просторі без вакууму та заряду ці рівняння:

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Це загальні рівняння Максвелла, спеціалізовані для випадку із зарядом і струмом, що дорівнюють нулю. Прийняття вихрів рівнянь завитки дає:

${\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)&=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

Ми можемо використовувати векторну ідентичність

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V}$

де V - будь-яка векторна функція простору. І

$\nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)$

де ∇V - діада, яка при дії оператора розбіжності ∇ ⋅ дає вектор. Оскільки

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}$

тоді перший доданок справа в тотожності зникає, і ми отримуємо хвильові рівняння:

${\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=0\\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=0\end{aligned}}$

де

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\textrm {m/s}}$

- швидкість світла у вільному просторі.

Коваріантна форма однорідного хвильового рівняння

Розширення часу в поперечному русі. Вимога про постійну швидкість світла в кожній інерційній системі відліку призводить до спеціальної теорії відносності .

Ці релятивістські рівняння можна записати у противаріантній формі як

$\Box A^{\mu }=0$

де електромагнітний чотирипотенціал

$A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)$

з каліброваною умовою Лоренца :

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0,$

і де

$\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

є оператором д'Аламбера.

Однорідне хвильове рівняння в криволінійному просторі-часі

Рівняння електромагнітної хвилі модифікується двома способами, похідна замінюється коваріантною похідною і з'являється новий доданок, який залежить від кривизни.

$-{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0$

де $\scriptstyle {R^{\alpha }}_{\beta }$ є тензором кривизни Річчі, а крапка з комою вказує на коваріантну диференціацію.

Припускається узагальнення каліброваної умови Лоренца в кривому просторі-часі:

${A^{\mu }}_{;\mu }=0.$

Рівняння неоднорідної електромагнітної хвилі

Локалізовані в часі змінні густини заряду і струму можуть виступати джерелами електромагнітних хвиль у вакуумі. Рівняння Максвелла можна записати у вигляді хвильового рівняння з джерелами. Додавання джерел до хвильових рівнянь робить диференціальні рівняння з частинними похідними неоднорідними.

Рішення однорідного рівняння електромагнітної хвилі

Загальним рішенням рівняння електромагнітної хвилі є лінійна суперпозиція хвиль виду

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$

$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$

для практично будь -якої належної функції g безрозмірного аргументу φ, де ω - кутова частота (у радіанах за секунду), а k = (k_x, k_y, k_z) - хвильовий вектор (у радіанах на метр).

Хоча функція g може бути і часто є монохроматичною синусоїдою, вона не повинна бути синусоїдальною або навіть періодичною. На практиці g не може мати нескінченну періодичність, оскільки будь-яка реальна електромагнітна хвиля завжди повинна мати кінцевий ступінь у часі та просторі. Як результат, на основі теорії розкладання Фур'є, реальна хвиля повинна складатися з суперпозиції нескінченного набору синусоїдальних частот.

Крім того, для дійсного рішення хвильовий вектор і кутова частота не є незалежними; вони повинні дотримуватися дисперсійного відношення :

$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$

де k - число хвилі, а λ - довжина хвилі . Змінна c може бути використана в цьому рівнянні лише тоді, коли електромагнітна хвиля знаходиться у вакуумі.

Монохроматичний, синусоїдальний стаціонарний стан

Найпростіший набір рішень хвильового рівняння випливає з припущення синусоїдальних сигналів однієї частоти у відокремлюваній формі:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}$

де

i - уявна одиниця ,

ω = 2π f - кутова частота в радіанах за секунду ,

 f - частота в герцах, і

$\scriptstyle e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ - формула Ейлера .

Рішення плоских хвиль

Розглянемо площину, визначену одиничним нормальним вектором

$\mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.$

Тоді площинні хвильові розв'язки хвильових рівнянь є

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

де r = (x, y, z) - вектор положення (у метрах).

Ці рішення представляють плоскі хвилі, що рухаються в напрямку нормального вектора n . Якщо визначити напрямок z як напрямок n . і напрям x як напрямок E, тоді за законом Фарадея магнітне поле лежить в напрямку y і пов'язане з електричним полем відношенням

$c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.$

Оскільки розбіжності електричного та магнітного полів дорівнюють нулю, полів у напрямку розповсюдження немає.

Це рішення є лінійно поляризованим рішенням хвильових рівнянь. Існують також циркулярно поляризовані розчини, в яких поля обертаються навколо нормального вектора.

Спектральне розкладання

Через лінійність рівнянь Максвелла у вакуумі розчини можна розкласти на суперпозицію синусоїд . Це основа для методу перетворення Фур'є для розв'язку диференціальних рівнянь. Синусоїдальний розчин рівняння електромагнітної хвилі набуває вигляду

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})$

$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})$

де

t - час (у секундах),

ω - кутова частота (в радіанах за секунду),

k = (k_x, k_y, k_z) - хвильовий вектор (в радіанах на метр), і

$\scriptstyle \phi _{0}$ - фазовий кут (у радіанах).

Хвильовий вектор пов'язаний з кутовою частотою на

$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$

де k - число хвилі, а λ - довжина хвилі .

Електромагнітний спектр - це графік величин поля (або енергій) як функції довжини хвилі.

Багатополюсне розширення

Припускаючи, що монохроматичні поля змінюються в часі як $e^{-i\omega t}$, якщо використовувати рівняння Максвелла для усунення B, рівняння електромагнітної хвилі зводиться до рівняння Гельмгольца для E :

$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} ,$

з k = ω / c, як зазначено вище. Як варіант, можна виключити E на користь B щоб отримати:

$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} .$

Загальне електромагнітне поле з частотою ω можна записати як суму розв’язків цих двох рівнянь. Тривимірні рішення рівняння Гельмгольца можна виразити як розкладання сферичних гармонік з коефіцієнтами, пропорційними сферичним функціям Бесселя . Однак застосування цього розширення до кожної векторної складової E або B дасть рішення, які загалом не мають розбіжностей ( ∇ · E = ∇ · B = 0 ), а отже, вимагають додаткових обмежень на коефіцієнти.

Багатополюсне розширення обходить цю складність, розширюючи не E або B, а r · E або r · B в сферичні гармоніки. Ці розширення все ще вирішують вихідні рівняння Гельмгольца для E та B оскільки для поля, що не розходиться, F, ∇² (r · F) = r · (∇² F) . Отримані вирази для загального електромагнітного поля є:

$\mathbf {E} =e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]$

$\mathbf {B} =e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]$ ,

де $\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}$ і $\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}$ - електричні багатополюсні поля порядку (l, m), і $\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}$ і $\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}$ - відповідні магнітні багатополюсні поля, а a_E(l, m) та a_M(l, m) - коефіцієнти розширення. Багатополюсні поля задаються

$\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}$

$\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}$

$\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}$

$\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}$ ,

де h _l ^(1,2) ( x ) - сферичні функції Ганкеля, E _l ^(1,2) та B _l ^(1,2) визначаються граничними умовами, і

$\mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l,m}$

- векторні сферичні гармоніки, нормовані так, що

$\int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}.$

Багатополюсне розширення електромагнітного поля знаходить застосування в ряді проблем, що включають сферичну симетрію, наприклад, діаграми випромінювання антен або ядерний гамма-розпад . У цих додатках часто цікавить потужність, що випромінюється в далекому полі . У цих регіонах поля E та B асимптотують до

$\mathbf {B} \approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]$

$\mathbf {E} \approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .$

Тоді кутовий розподіл усередненої за часом потужності випромінювання визначається як

${\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.$

Дивитися також

Теорія та експеримент

Рівняння Максвелла Хвильове рівняння Диференціальне рівняння з частинними похідними Обчислювальний електромагнетизм Електромагнітне випромінювання Закон збереження електричного заряду Світло Електромагнітний спектр Оптика

Спеціальна теорія відносності Загальна теорія відносності Inhomogeneous electromagnetic wave equation Photon polarization Larmor power formula Theoretical and experimental justification for the Schrödinger equation

Застосування

Rainbow Реліктове випромінювання Лазер Інерційне утримання плазми Фотографія X-ray Рентгеноструктурний аналіз Радар

Радіохвилі Фотонний комп'ютер Голографія Мікроскоп Телескоп Гравітаційна лінза Випромінювання чорного тіла

Біографії

Андре-Марі Ампер Альберт Ейнштейн Майкл Фарадей Генріх Герц Олівер Гевісайд Джеймс Клерк Максвелл

Подальше читання

Електромагнетизм

Журнальні статті

• Максвелл, Джеймс Клерк, " Динамічна теорія електромагнітного поля ", Філософські угоди Лондонського королівського товариства 155, 459-512 (1865). (Ця стаття супроводжувала презентацію Максвелла 8 грудня 1864 р. Перед Королівським товариством. )

Підручники для студентів

• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.

Підручники вищого рівня

• Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X. Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Ландау, Л.Д., Класична теорія полів ( Курс теоретичної фізики : Том 2), (Баттерворт-Хайнеман: Оксфорд, 1987).ISBN 0-08-018176-7 .
• Maxwell, James C. (1954). A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. ISBN 0-486-60637-6.Maxwell, James C. (1954). A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. ISBN 0-486-60637-6. Maxwell, James C. (1954). A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. ISBN 0-486-60637-6.
• Чарльз В. Міснер, Кіп С. Торн, Джон Арчібальд Вілер, Гравітація, (1970) WH Freeman, Нью-Йорк;ISBN 0-7167-0344-0 . (Надає трактування рівнянь Максвелла з точки зору диференціальних форм. )

Векторні числення

• PC Matthews Vector Calculus, Springer 1998,ISBN 3-540-76180-2
• Х. М. Шей, Дів Град Керл і все таке: Неформальний текст про векторне числення, 4-е видання (WW Norton & Company, 2005)ISBN 0-393-92516-1 .