Електромагнітний потенціал

Електромагнітний 4-потенціал — це контраваріантний 4-вектор, часовою компонентою якого є скалярний потенціал , а просторовою - векторний потенціал (всі формули на цій сторінці дані у системі СГС). Таким чином,

.

Введення компонент 4-потенціалу і отримання рівнянь на нихРедагувати

Рівняння Максвелла

 

можна тотожньо задовольнити, якщо ввести векторний потенціал   як

 .

Підставивши цей вираз для   у рівняння для ротора напруженості електричного поля, можна отримати

 ,

де введений скалярний потенціал  . Тепер можна переписати вираз для сили, що діє на заряд, що рухається, у електромагнітному полі, за допомогою виразів, отриманих для потенціалів:

 .

Використовуючи, знову ж таки, векторний потенціал і  , можна переписати також рівняння для ротора індукції магнітного поля і для дивергенції напруженості електричного поля:

 

 ,

 .

Якщо задовольнити умову

 

(умова калібрування Лоренца), то вирази набудуть більш простого вигляду:

 .

Такі рівняння називаються рівняннями д'Аламбера.

Компоненти потенціалу як єдиний 4-векторРедагувати

Ідентичність двох рівнянь з   дозволяє припустити, що і в лівій, і в правій частині знаходяться компоненти двох 4-векторів:  . Тоді рівняння   можуть бути записані як одне:

 ,

причому перетворення Лоренца для компонент можуть бути записані як

 .

Для доведення цього достатньо показати, що векторний і скалярний потенціали перетворюються як компоненти 4-вектора.

Розв'язок рівнянь д'Аламбера для компонент потенціалуРедагувати

Отримані рівняння д'Аламбера можна розв'язати із наступних міркувань.

Загальний розв'язок рівнянь Пуассона для   дається інтегралами

 .

У неоднорідному нестаціонарному випадку густина заряду і струму увесь час змінюється, причому інформація про це досягає спостерігача лише за час  . Оскільки, окрім того, у рівнянні д'Аламбера присутня похідна по часу, то природно, що розв'язок цього рівняння для скалярного потенціалу і для кожної компоненти векторного потенціалу залежить не тільки від  , а й від  , що виражає час запізнення:  . Тоді можна допустити, що розв'язком рівняння д'Аламбера є той же інтеграл Пуассона, проте тепер густина є функцією і від часу. Наприклад, для  :

 ,

де   - функція, що задовільняє хвильовому рівнянню.

Див. такожРедагувати