Відкрити головне меню

Потенціа́ли Ліена́ра — Ві́херта — вирази для потенціалів електромагнітного поля заряду, що рухається відомою траєкторією. Названі на честь Альфред-Марі Ліенара та Еміля Віхерта.

При зміні положення заряду збурення електромагтіних полів згідно з принципом причинності досягає точки спостереження тільки через певний відрізок часу. В момент часу t спостерігач відчуватиме положення заряду в момент часу .  — це проміжок часу, необхідний для того, щоб електромагнітне поле подолало віддаль між зарядами.

,

де  — віддаль між спостерігачем і зарядом у момент часу , c — швидкість світла в порожнечі.

Якби заряд не рухався, то навколо нього створювалося б лише електричне поле згідно із законом Кулона. Навколо рухомого заряду створюється електричне й магнітне поле. Потенціали цих полів визначаються формулами [1]

де  — потенціал електичного поля,  — векторний потенціал,  — швидкість зарядженої частинки, q — її заряд. Усі вирази в правих частинах повинні братися в момен часу .

Ці вирази для потенціалів називаються потенціалами Ліенара-Віхерта. У випадку нерухомого заряду електричний потенціал збігається з кулонівським, магнітний — дорівнює нулю.

Зміст

Отримання виразів для потенціалівРедагувати

Рівняння Максвелла, в силу відповідного постулату, не залежать від прискорення заряда. Окрім цього, вирази для векторного і скалярного потенціалів, отримані у минулому розділі, також від прискорення не залежать. Проте вирази для векторів-характеристик поля від прискорення залежать. Інтегральні вирази для потенціалів (розв'язки рівняння д'Аламбера) враховують прискорення заряда через "запізнення" розповсюдження взаємодії. Дійсно, із загальних інтегралів для потенціалів можна отримати:

 ,

де  .

Отримані вирази для потенціалів можуть бути використані для отримання виразу для напруженості електричного поля та індукції магнітного поля у випадку заряду, що довільно рухається.

Напруженості полівРедагувати

Для напруженості електричного поля   й вектора магнітної індукції   потенціали Ліенара-Віхерта дають

 
 

Особливістю виразів для полів є те, що вони залежать не лише від швидкості частинки, а й від її прискорення. Та частина, що залежить від прискорення відповідає за випромінювання електромагнітних хвиль. Іншою особливістю є те, що електричне й поле завжди перпендикулярні одне до іншого.

Отримання виразів для полівРедагувати

Для подальших викладок знадобиться вираз

 .

Вираз для напруженості поля можна отримати безпосередньо за допомогою явних виразів для потенціалів Лієнара-Віхерта. Як відомо, вираз для напруженості електричного поля через компоненти 4-потенціалу рівний

 .

Проте перед тим, як безпосередньо визначити вираз для напруженості поля, потрібно перейти від змінних   до змінної  , оскільки самі потенціали (а точніше -  ) залежать від  :

 .

Тоді для напруженості поля   можна отримати

 ,

або, з урахуванням виразу   і введеного вектора  ,

 .

Вираз для індукції поля можна отримати безпосередньо з інтегральних виразів для запізнювальних потенціалів, що, можливо (!), значно спростить викладки.

При введенні фіктивного інтегрування по змінній   (див. попередній підрозділ) векторний потенціал має вигляд

 .

Тоді для   можна отримати

 ,

або, з урахуванням виразу  ,

 .

ДжерелаРедагувати

  • Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука. 

ПриміткиРедагувати

  1. Формули на цій сторінці записані в системі СГС (СГСГ). Для перетворення в систему СІ дивись Правила переводу формул із системи СГС в систему СІ.