Обчислювальний електромагнетизм

Обчислювальний електромагнетизм, обчислювальна електродинаміка або електромагнітне моделювання - це процес побудови моделей взаємодії електромагнітних полів з фізичними об'єктами та довкіллям.

Це зазвичай пов'язано з використанням обчислювально ефективних наближень для системи рівнянь Максвелла і використовується для розрахунку антенних характеристик, електромагнітної сумісності, ефективної площі розсіювання і поширення електромагнітних хвиль, коли вони не перебувають у вільному просторі.

Особлива частина обчислювального електромагнетизму, має справу з електромагнітним випроміненням, розсіяними та поглинутими дрібними частинками.

Загальне ред.

Деякі наявні електромагнітні проблеми, такі як електромагнітне розсіювання, електромагнітне випромінювання, моделювання хвилеводів тощо, аналітично не розраховуються для безлічі нерегулярних геометрій, які виявляються в реальних пристроях. Обчислювальні чисельні методи можуть подолати неможливість вивести рішення рівнянь Максвелла в замкнутій формі за різних співвідношень середовищ і граничних умов. Це робить обчислювальний електромагнетизм (CEM), важливим для проектування і моделювання антен, радарів, супутникових та інших систем зв'язку, нанофотонних пристроїв і високошвидкісної кремнієвої електроніки, медичної візуалізації, будови антен стільникового телефону і інших застосувань.

CEM зазвичай вирішує завдання обчислення E (електричного) і H (магнітного) полів проблемної області (наприклад, для розрахунку діаграми спрямованості антени для антени довільної форми). Крім того, обчислення напрямку потоку потужності (вектор Пойнтінга), нормальні моди хвилеводу, дисперсія хвиль, що виробляються середовищем, і розсіювання можуть бути обчислені з полів E і H. Моделі CEM можуть приймати чи не приймати симетрію, спрощуючи структури реального світу до ідеалізованих циліндрів, сфер і інших правильних геометричних предметів. Моделі CEM широко використовують симетрію і дозволяють зменшити розмірність з 3-х просторових вимірів до 2D і навіть 1D.

Постановка завдання CEM на власні значення, дозволяє розрахувати нормальні моди у сталому стані в структурі. Перехідні характеристики і ефекти імпульсного поля, більш точно моделюються CEM в тимчасовій області, FDTD. Вигнуті геометричні об'єкти більш точно обробляються як кінцеві елементи FEM або неортогональні сітки. Метод поширення променя (BPM) може бути вирішенням для потоку потужності в хвилеводах. CEM залежить від додатку, навіть якщо різні методи сходяться до одного і того ж поля і розподілу потужності в модельованій області.

Огляд методів ред.

Один з підходів полягає в дискретизації простору в термінах сіток (як ортогональних, так і неортогональних) і розв'язання рівнянь Максвелла в кожній точці сітки. Дискретизація споживає пам'ять комп'ютера, а розв'язання рівнянь вимагає значного часу. Широкомасштабні завдання CEM, стикаються з обмеженнями пам'яті та процесора. З 2007 року, проблеми CEM вимагають використання суперкомп'ютерів, кластерів високої продуктивності, векторних процесорів та / або паралелізму.  Типові формулювання охоплюють: або покрокове проходження рівнянь всією областю для кожної миті часу; чи за допомогою інверсії смугової матриці для розрахунку значень базисних функцій за моделювання методами кінцевих елементів; або матричні добутки при використанні методів перенесення матриці; або обчислення інтегралів за використання методу моментів (MoM); чи з застосуванням швидких перетворень Фур'є і тимчасових ітерацій у разі розрахунку з використанням методу розділеного кроку або BPM.

Вибір методів ред.

Вибір правильної техніки для вирішення завдань є важливим, оскільки застосування неправильного, може призвести до хибних підсумків або результатів, які вимагають надмірного обчислення. Однак назва техніки не завжди говорить про те, як вона впроваджена, особливо для комерційних інструментів, які часто мають більше одного вирішувача.

Девідсон наводить[1] дві таблиці, які порівнюють методи FEM, MoM і FDTD в тому вигляді, в якому вони зазвичай застосовуються. Одну таблицю призначено для відкритої області (завдання випромінення і розсіювання), а інша таблиця для задач з хвилеводами.

Рівняння Максвелла в гіперболічній формі з частковими похідними ред.

Рівняння Максвелла можна сформулювати як гіперболічну систему рівнянь з частковими похідними. Це дає доступ до потужних методів для чисельних рішень. Передбачається, що хвилі поширюються в площині (x, y) і обмежують напрямок магнітного поля паралельно осі z, а отже, електричне поле паралельне площині (x, y). Хвиля називається поперечною магнітною (TM) хвилею. У 2D і без поляризаційних членів, рівняння Максвелла може бути сформульовано так:

 

де u, A, B C визначаються як

 
 
 
 

У цьому поданні,   — примусова функція, і знаходиться в тому ж просторі, що і  . Вона може використовуватися для вираження зовнішнього прикладеного поля або для опису обмеження оптимізації. Як сформульовано вище:

 

  також може бути явно визначено рівним нулю для спрощення певних завдань, або для знаходження характерного розв'язку, що часто є першим кроком у методі пошуку конкретного неоднорідного рішення.

Інтегральні розв'язувачі рівнянь ред.

Дискретне дипольне наближення ред.

Дискретно-дипольне наближення, є гнучким методом обчислення розсіювання і поглинання цілями довільної геометрії. Формулювання ґрунтується на інтегральній формі рівнянь Максвелла. DDA є наближенням континуальної мети кінцевим масивом поляризованих точок. Точки набувають дипольні моменти у відповідь на локальне електричне поле. Звичайно, диполі взаємодіють один з одним через власні електричні поля, тому DDA також, іноді називають наближенням пов'язаних диполів. Отримана у підсумку лінійна система рівнянь, зазвичай вирішується за допомогою сполучених градієнтних ітерацій. Матриця дискретизації має симетрії (інтегральна форма рівнянь Максвелла має форму згортки), що дозволяє Швидкому перетворенню Фур'є множити вектор матриці на час ітерацій сполученого градієнта.

Метод моментів, метод кінцевих елементів ред.

Метод моментів (ММ)[2] або метод граничних елементів (МГЕ) є чисельним методом розв'язку лінійних диференціальних рівнянь, які були сформульовані як інтегральні рівняння (тобто в граничних інтегральних формах). Він може бути застосований в багатьох областях техніки і науки, в тому числі гідромеханіки, акустики, електромагнетизму, механіки руйнування і пластичності.

ММ стає все більш поширеним з 1980-х років. Тому що він вимагає розрахунку лише граничних значень, а не значень на всьому просторі, це значно більш ефективно з точки зору обчислювальних ресурсів для завдань з невеликою поверхні до об'єму. По суті, він працює шляхом побудови сітки над модельованою поверхнею. Проте для багатьох проблем, МГЕ значно обчислювально менш ефективні, ніж обсяжно-дискретизаційні методи (метод кінцевих елементів, метод кінцевих різниць, метод скінченних об'ємів). Спосіб скінченно-елементних матриць, як правило, призводить до повністю заповненої матриці. Це означає, що умови зберігання і обчислювальний час буде мати тенденцію зростати по квадрату проблема Розмір. На відміну від скінченно-елементних матриць, як правило, смугасті (елементи тільки локально приєднано) і на зберігання вимоги до системи матриць, як правило, зростають лінійно з проблемою розміру. Методи стиснення (наприклад мультипольних розкладань або хрест адаптивної апроксимації/ієрархічних матриць) можуть бути використані для вирішення таких проблем, хоч і ціною додаткової складності і з успіхом-курс, який значною мірою залежить від природи і геометрії задачі.

МГЕ застосовується до проблем, для яких функції Гріна може бути обчислено. Вони зазвичай охоплюють поля в лінійних однорідних середовищах. Це накладає значні обмеження на діапазон і спільності проблем, придатних для граничних елементів. Нелінійності може бути внесено в розробку, хоча вони, як правило, впроваджують об'ємні інтеграли, які вимагають обсягу для дискретизації до рішення, витягуючи з часто цитованих переваг МГЕ.

Швидкий мультипольний метод ред.

Швидший мультипольний метод (ШММ) є альтернативою ММ або підсумовування Евальда. Це спосіб точного моделювання який потребує менше пам'яті і потужності процесора, ніж ММ. ШММ був вперше представлений на Грингард і Рохлін[3][4] та на основі мультипольного розкладу техніку. Перше застосування ШММ в області обчислювальної електродинаміки зробив Engheta і співавтори (1992).[5] ШММ також може бути використаний для прискорення ММ.

Часовий домен пласкої хвилі ред.

У той час як швидкий мультипольний метод корисний для прискорення ММ рішення інтегральних рівнянь зі статичним або частотних характеристик коливальних ядер. Часовий домен пласкої хвилі (ЧДПХ) - алгоритм використовує схожі ідеї, щоби пришвидшити ММ рішення у часовій області інтегральних рівнянь, що враховують запізнення. ЧДПХ (англ.PWTD) алгоритм було введено 1998 року Ергін і Michielssen.[6]

Метод еквівалентної схеми часткового елементу ред.

Метод еквівалентної схеми часткового елементу (МЕСЧЕ), це 3D-метод повно-хвильового моделювання, який підходить для змішаного електромагнітного та схемного аналізу. На відміну від ММ, МЕСЧЕ повний спектр спосіб діє від постійного струму до максимальної частоти визначається зачеплення. У МЕСЧЕ інтегрального рівняння інтерпретується як напруга закон Кірхгофа застосовується до основних МЕСЧЕ клітин, що призведе до повної ланки рішення для 3D геометрії. Еквівалентна схема розробки дозволяє використовувати додаткові спеції типу елементів схеми можуть бути включені. Крім того, моделей і аналіз ставляться як до часовій та частотній областях. Ланка рівнянь в результаті МЕСЧЕ модель легко побудувати, використовуючи модифікований цикл аналізу (мда) або модифікованого вузлового аналізу (МНА) формулювання. Крім забезпечення прямого поточного рішення, вона має й ряд інших переваг перед ММ аналізом для даного класу задач з будь-яким типом ланцюга елемент може бути внесений простим способом за допомогою відповідних матричних штампів. У МЕСЧЕ спосіб нещодавно була розширена, щоби внести неортогональну геометрію.[7] ця модель розширення, яка узгоджується з класичними ортогональними формулюванні, включає в Манхеттені подання геометрій на додаток до більш загальним чотирикутних і шестигранних елементів. Це допомагає в підтримці число невідомих, як мінімум, і таким чином зменшує час розрахунків при неортогональної геометрії.[8]

Розв'язувачі диференціальних рівнянь ред.

Різницева часова область ред.

Скінченних різниць у часовій області (методом fdtd) є популярним цем техніка. Це легко зрозуміти. Вона має виключно просту реалізацію на повну хвилю вирішувач. Це як мінімум на порядок менше роботи по впровадженню базового методу при використанні розв'язувача, ніж або ФЕМ або мама вирішувач. Методом fdtd-єдиний метод, де одна людина може реально реалізувати себе в розумні терміни, але навіть тоді, це буде досить специфічна проблема.[1] , оскільки вона є тимчасовій області методом рішення можуть охоплювати широкий діапазон частот за допомогою одного прогону моделювання, за умови часовий крок досить малий, щоб задовольнити Найквіста–Шеннона, теорема вибірки для необхідної високої частоти.

Методом fdtd належить в загальному класі на основі сітки диференціальної часовій області чисельних методів моделювання. Системи рівнянь Максвелладиференціальних форма) змінюються в Центрально-різницевих рівнянь, дискретизації й реалізована у програмному забезпеченні. Рівняння вирішуються в циклічному порядку: електричне поле вирішується в даний момент часу, то магнітне поле буде вирішена в наступний момент часу, і процес повторюється знову і знову.

Основним методом fdtd алгоритм сходить до основоположною 1966 папери з Кейном Йі в стандарті IEEE угоди з антени і розповсюдження. Аллен Taflove виникло позначення "метод скінченних різниць у часовій області" та відповідний "методом fdtd" скорочення в 1980 статті в IEEE угоди з електромагнітної сумісності. Приблизно з 1990 року, методом fdtd прийоми виникли як основний засіб для моделювання багатьох наукових і технічних проблем, усунення електромагнітних хвильових взаємодій з матеріальними структурами. Ефективна методика, заснована на часовій області кінцевого обсягу дискретизації процедура була введена в мохаммадиан висловив співавт. у 1991 році.[9] струм методом fdtd моделювання додатків діапазон від постійного струму (ультранизкие частоти геофізики з участю всієї Землі-іоносфери хвилеводу) з допомогою мікрохвиль (радіолокаційну помітність техніки, антени, бездротові комунікаційні пристрої, цифрові міжблочні кабелі, біомедичної візуалізації/обробки) для видимого світла (фотонні кристали, наноплазмоника, солітони, і биофотоники). Близько 30 комерційних і університету розробили пакети програмного забезпечення доступні.

Мультирозв'язка часового домену ред.

МСПД є адаптивна альтернатива скінченних різниць у часовій області методом (методом fdtd) на основі вейвлет-аналізу.

Метод кінцевих елементів ред.

Даний метод кінцевих елементів (МКЕ) використовується для знаходження наближеного розв'язку диференціальних рівнянь (рівнянь в частинних похідних) та інтегральні рівняння. Рішення ґрунтується на усуненні похідні по часу повністю (стійкий стан проблеми), або візуалізації ПЕОМ в еквівалентну звичайних диференціальних рівнянь, яка потім розв'язується за допомогою стандартних методів, таких як метод кінцевих різниць та ін.

При рішенні диференціальних рівнянь в приватних похідних, основним завданням є створити рівняння, яке апроксимує рівняння було вивчено, але яке чисельно стабільний, що означає, що помилки у вихідних даних і проміжних обчислень не накопичуються і знищують сенс отриманого результату. Є багато способів зробити це, з різними перевагами і недоліками. Метод кінцевих елементів є хорошим вибором для рішення диференціальних рівнянь більш складних областях або коли необхідної точності змінюється протягом всього домену.

Метод кінцевої інтеграції ред.

Кінцевий метод інтеграції (ЦФ) являє собою схему просторової дискретизації для чисельного рішення задач електромагнітного поля в часі та частотній області. Він зберігає основні топологічні властивості неперервних рівнянь, таких як збереження заряду та енергії. Посадка була запропонована в 1977 році Томас Вейланд[de] і була підвищена постійно протягом багатьох років.[10] Цей метод охоплює повний спектр електромагнетизм (від статичних до високих частот) і оптичного застосування і є основою для комерційних інструментів моделювання.[відсутнє в джерелі]

Основна ідея цього підходу полягає в застосуванні рівнянь Максвелла в інтегральній формі для набору шаховому сітки. Цей метод відрізняється високою гнучкістю в геометричне моделювання та крайові обробки, а також включення довільного розподілу матеріалу і властивостей матеріалу, таких як анізотропія, нелінійність і дисперсія. Крім того, використання послідовної подвійний ортогональною сіткою (наприклад, Декартову систему координат) в поєднанні з явною часу схема інтеграції (наприклад, в чехарду-схема) призводить до обчислень і пам'яті-ефективні алгоритми, які спеціально пристосовані для перехідних поле аналізу в радіочастотних (РЧ) додатків.

Псевдо-спектральна часова область ред.

Цей клас марширують під часу обчислювальних методів для рівнянь Максвелла використовуються дискретні перетворення Фур'є або дискретного Чебишевського перетворення для обчислення просторових похідних електричного і магнітного поля компоненти вектора, які розташовані в 2-мірна сітка або 3-D решітки, елементарні комірки. MID викликає незначне чисельну фазової швидкості анізотропії щодо помилок методом fdtd, і, отже, дозволяє проблеми набагато великі електричні розміри, щоб бути змодельовані.[11]

Псевдо-спектральна просторова область ред.

Pssd за вирішує рівняння Максвелла, передаючи їх вперед у вибраному просторовому напрямку. Поля проходять як функцію часу, і (можливо) будь-яких поперечних просторових вимірів. Метод псевдо-спектральний, оскільки часові похідні обчислюються в частотній області за допомогою Шпф. Тому що поля як функції часу, це дозволяє довільним дисперсії при поширенні засобів швидко і точно за зразком з мінімальними зусиллями.[12] Однак, вибір для поширення вперед у просторі, а не під час приносить з собою деякі тонкощі, особливо якщо відображення не важливо.[13]

Матриці ліній передачі ред.

Передача лінійно-матричні (ТЛМ) може бути сформульована кількома способами прямим набором зосереджених елементів розв'язувана безпосередньо за схемою розрахунку (аля Спайс, HSPICE, співавт.), в ролі користувача мережі елементів або за допомогою матриці розсіювання підхід. ТЛМ-це дуже гнучкий аналіз стратегії схоже методом fdtd в можливості, хоча і більш кодів, як правило, доступні за методом fdtd двигунів.

Локально-одновимірних ред.

Це неявний спосіб. У цьому методі, у двовимірному випадку рівняння Максвелла обчислюються в два етапи, в той час як в тривимірному випадку рівняння Максвелла діляться на три просторових координатних напрямків. Стабільність і дисперсійного аналізу тривимірної ЛОД-fdtd-методу були обговорені в деталях.[14][15]

Інші методи ред.

Розширення Власної Моди ред.

Власна мода розширення (ЕМЭ) - це строгий двонаправлений метод моделювання електромагнітних яка спирається на розкладання електромагнітного поля на основі набору локальних мод. Коливання знаходяться шляхом розв'язання системи рівнянь Максвелла в кожному перерізі. Розширення власної моди може вирішити рівняння Максвелла в 2D і 3D і може забезпечити повністю векторний рішення за умови, що режим решателей векторної. Він пропонує дуже сильні переваги порівняно з fdtd-методу для моделювання оптичних хвилеводів, і це популярний інструмент для моделювання волоконної оптики і кремнієва фотоніка пристроїв.

Фізична оптика ред.

Фізична оптика - це назва високочастотне наближення (короткий-довжина хвилі наближенні) широко використовується в оптиці, електротехніки та прикладної фізики. Це проміжний між метод геометричної оптики, який ігнорує хвильові ефекти, і повна хвиля електромагнетизму, який є точною теорії. Слово "фізична" означає, що вона є більш фізичної, ніж Геометрична оптика це і не є точною фізичної теорії.

Апроксимація полягає у використанні рентгенівської оптики для оцінки поля на поверхні і після включення цього поля по поверхні, щоб обчислити передану або розсіяного поля. Це схоже на борнове наближення, в тому, що дані проблеми розглядаються як збурення.

Рівномірна теорія дифракції ред.

У однорідної теорії дифракції є високочастотний метод рішення електромагнітного розсіювання проблеми з електрично малих неоднорідностей або несуцільностей в більш ніж одному вимірюванні в одній точці.

На рівномірній теорії дифракції приблизно біля поля електромагнітні поля як квазі оптичними і використовує рентгенівського випромінювання для визначення коефіцієнтів дифракції для кожного дифрагируя об'єкт-джерело комбінованої. Ці коефіцієнти використовуються для розрахунку напруженості поля і фази для кожного напрямку від дифрагуючих точок. Ці поля додаються до інциденту поля і відбитого поля, щоб отримати повне рішення.

Перевірка ред.

Перевірка є одним з ключових питань, з якими стикаються користувачі електромагнітного моделювання. Користувач повинен зрозуміти і освоїти дії домену її моделювання. Ця міра, "як далеко від реальності результати?"

Відповідаючи на це питання складається з трьох етапів: зіставлення результатів моделювання та аналітичні розробки, перехресне зіставлення кодів і порівняння результатів моделювання з вимірюваннями.

Порівняння результатів моделювання та аналітичного розробки ред.

Наприклад, оцінки вартості радар-поперечний переріз пластини з аналітичною формулою:

 
де A — поверхня плити і   — довжина хвилі. Наступного Кривий представляючи ЕПР пластини, розрахованої на 35 ГГц може використовуватися як еталонний приклад.

Перехресне зіставлення кодів ред.

Одним з прикладів є порівняння хреста результатів з методом моментів, і асимптотичних методів в своїй області.[16]

Порівняння результатів моделювання з вимірюванням ред.

Кінцевий етап перевірки проводиться порівняння між результатами вимірювань і моделювання. Наприклад, ТСК розрахунок[17] та вимірювання[18] з складного металевого предмета на 35 ГГц. Розрахунок реалізує йти, і ПМД по краях.

Процеси перевірки може чітко показують, що деякі відмінності можуть бути пояснені відмінності між експериментальної установки та її відтворення в середовищі моделювання.[19]

Коди світлорозсіювання ред.

В даний час існує багато ефективних кодів для вирішення завдань електромагнітного розсіювання. Вони перераховані як дискретних диполів коди, коди для електромагнітного розсіювання на циліндри, коди для електромагнітного розсіювання на сферах. Рішення, які є аналітичними, таких як Мії рішення для розсіювання сфер або циліндрів, можна використовувати для перевірки більше методів, що беруть участь.

Див. також ред.

Посилання ред.

  1. а б David B. Davidson, Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering, Second Edition, Cambridge University Press, 2010
  2. Roger F. Harrington (1968). Field Computation by Moment Methods. Latest printing by IEEE Press in 1993, ISBN 0780310144.
  3. Greengard, L; Rokhlin, V (1987). A fast algorithm for particle simulations (PDF). Journal of Computational Physics. Elsevier BV. 73 (2): 325—348. Bibcode:1987JCoPh..73..325G. doi:10.1016/0021-9991(87)90140-9. ISSN 0021-9991. Архів (PDF) оригіналу за 1 серпня 2019.
  4. Rokhlin, V (1985). Rapid solution of integral equations of classical potential theory. Journal of Computational Physics. Elsevier BV. 60 (2): 187—207. Bibcode:1985JCoPh..60..187R. doi:10.1016/0021-9991(85)90002-6. ISSN 0021-9991.
  5. Engheta, N.; Murphy, W.D.; Rokhlin, V.; Vassiliou, M.S. (1992). The fast multipole method (FMM) for electromagnetic scattering problems. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 40 (6): 634—641. Bibcode:1992ITAP...40..634E. doi:10.1109/8.144597. ISSN 0018-926X.
  6. Ergin, A.Arif; Shanker, Balasubramaniam; Michielssen, Eric (1998). Fast Evaluation of Three-Dimensional Transient Wave Fields Using Diagonal Translation Operators. Journal of Computational Physics. Elsevier BV. 146 (1): 157—180. Bibcode:1998JCoPh.146..157E. doi:10.1006/jcph.1998.5908. ISSN 0021-9991.
  7. Ruehli, A.E.; Antonini, G.; Esch, J.; Ekman, J.; Mayo, A.; Orlandi, A. (2003). Nonorthogonal PEEC formulation for time- and frequency-domain EM and circuit modeling. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 45 (2): 167—176. doi:10.1109/temc.2003.810804. ISSN 0018-9375.
  8. Partial Element Equivalent Circuit (PEEC) homepage
  9. Mohammadian, Alireza H.; Shankar, Vijaya; Hall, William F. (1991). Computation of electromagnetic scattering and radiation using a time-domain finite-volume discretization procedure. Computer Physics Communications. Elsevier BV. 68 (1–3): 175—196. Bibcode:1991CoPhC..68..175M. doi:10.1016/0010-4655(91)90199-u. ISSN 0010-4655.
  10. Weiland, T. (1977). A Discretization Method for the Solution of Maxwell's Equations for Six-Component Fields. Archiv für Elektronik und Uebertragungstechnik (нім.). 31 (3): 116—120. Bibcode:1977ArElU..31..116W.
  11. For a recent comprehensive summary of PSTD techniques for Maxwell's equations, see Q. Liu and G. Zhao "Advances in PSTD Techniques," Chapter 17 in Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, A. Taflove and S. C. Hagness, eds., Boston: Artech House, 2005.
  12. Tyrrell, J. C. A.; Kinsler, P.; New, G. H. C. (10 травня 2005). Pseudospectral spatial-domain: a new method for nonlinear pulse propagation in the few-cycle regime with arbitrary dispersion. Journal of Modern Optics. Informa UK Limited. 52 (7): 973—986. Bibcode:2005JMOp...52..973T. doi:10.1080/09500340512331334086. ISSN 0950-0340. S2CID 121604760.
  13. Kinsler, Paul (25 січня 2010). Optical pulse propagation with minimal approximations. Physical Review A. 81 (1): 013819. arXiv:0810.5689. Bibcode:2010PhRvA..81a3819K. doi:10.1103/physreva.81.013819. ISSN 1050-2947.
  14. Ahmed, I. (2008). Development of the Three-Dimensional Unconditionally Stable LOD-FDTD Method. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 56 (11): 3596—3600. Bibcode:2008ITAP...56.3596A. doi:10.1109/tap.2008.2005544. ISSN 0018-926X. S2CID 31351974.
  15. Ahmed, Iftikhar; Chua, Eng-Kee; Li, Er-Ping (2010). Numerical Dispersion Analysis of the Unconditionally Stable Three-Dimensional LOD-FDTD Method. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 58 (12): 3983—3989. Bibcode:2010ITAP...58.3983A. doi:10.1109/tap.2010.2078481. ISSN 0018-926X. S2CID 9987649.
  16. As an illustration, the company OKTAL-SE [Архівовано 7 січня 2002 у Wayback Machine.] made common development and cross comparison with the French research institute ONERA [Архівовано 29 січня 2011 у Wayback Machine.], comparing Method of Moment and Asymptotic methods.
  17. SE-RAY-EM. Архів оригіналу за 7 січня 2002. Процитовано 17 травня 2017.
  18. FGAN-FHR. Архів оригіналу за 27 червня 2018. Процитовано 17 травня 2017.
  19. full article

Подальше читання ред.

Зовнішні посилання ред.