Степеневий ряд

У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$ де a_n — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots .$

Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.

Операції зі степеневими рядами

Додавання і віднімання

Для степеневих рядів f і g навколо точки c, можна визначити їх суму і різницю. Якщо:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$

тоді

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.$

Множення і ділення

Для множення і ділення одержуються формули:

$f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)$

$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.$

Послідовність $m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ називається конволюцією послідовностей $a_{n}$ і $b_{n}$.

Для ділення виконується:

${f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$

$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$

і значення знаходяться з формул конволюції.

Збіжність степеневих рядів

Степеневий ряд називається збіжним в точці x₀, якщо збіжним є відповідний числовий ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x_{0}^{n}=a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}+a_{3}x_{0}^{3}+\ldots .$. Степеневий ряд є збіжним в деякій області, якщо він є збіжним в кожній точці цієї області.

Ознаки збіжності

Для степеневих рядів є декілька теорем, що описують умови і характер їх збіжності.

• Перша теорема Абеля: Нехай ряд $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ є збіжним в точці ${x_{0}}$. Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу ${|x|<|x_{0}|}$ рівномірно по ${x}$ на будь-якій компактній підмножині цього круга.

Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при ${x=x_{0}}$, він є розбіжним при всіх ${x}$, таких що ${|x|>|x_{0}|}$. З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга ${R}$ (можливо, нульовий або нескінченний), що при ${|x|<R}$ ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по $x$ на компактних підмножинах круга ${|x|<R}$), а при ${|x|>R}$ ряд є розбіжним. Це значення $R$ називається радіусом збіжності ряду, а круг ${|x|<R}$ — кругом збіжності.

• Формула Коші — Адамара: Значення радіусу збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою:

${1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}$

Нехай $F(x)$ і $G(x)$ — два степеневі ряди з радіусами збіжності ${R_{F}}$ і ${R_{G}}$. Тоді

$R_{F+G}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}$

$R_{F\cdot G}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}$

$R_{F'}\,=\,R_{F}$

Якщо у ряду $G(x)$ вільний член нульовий, тоді

$R_{F\circ G}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}$

Питання про збіжність ряду в точках межі ${|x|=R}$ круга збіжності потребує додаткового аналізу:

Ознака Д’Аламбера: Якщо при $n>N$ і $\alpha >1$ виконано нерівність

$\left|{a_{n} \over a_{n+1}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)$

тоді степеневий ряд $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ є абсолютно збіжним в усіх точках кола ${|x|=R}$ і збіжність є рівномірною по $x$.

• Ознака Діріхле: Якщо всі коефіцієнти степеневого ряду $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ додатні і послідовність $a_{n}$ монотонно збігається до нуля, тоді цей ряд є збіжним в усіх точках кола ${|x|=1}$, окрім, можливо, точки ${x=1}$.
• Друга теорема Абеля:Нехай степеневий ряд є збіжним в точці ${x=x_{0}}$. Тоді він є рівномірно збіжним по ${x}$ на відрізку, що сполучає точки 0 і ${x_{0}}$.

Похідна і інтеграл

Якщо деяка функція рівна сумі степеневого ряду в деякій області то її похідну і інтеграл можна визначити почленно продиференціювавши і проінтегрувавши доданки степеневого ряду:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}$

$\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.$

Радіуси збіжності обох цих рядів дорівнюють радіусу початкового ряду.

Степеневі ряди багатьох змінних

Степеневий ряд від n змінних — ряд виду:

$F(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum \limits _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}=0}^{+\infty }a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\ldots X_{n}^{k_{n}}$

або, в мультиіндексних позначеннях

$F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },$

де $X$ — це вектор $X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$, $\alpha$ — мультиіндекс $\alpha =(k_{1},k_{2},\dots k_{n})$, $X^{\alpha }$ — одночлен $X^{\alpha }=X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\ldots X_{n}^{k_{n}}$.

Див. також

• Ряд (математика)
• Формальний степеневий ряд
• Ряд Тейлора
• Теорема Абеля
• Ряд Пюїзо

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969.
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372

Посилання

• Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності.Область збіжності степеневого ряду // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 520. — 594 с.