Розподіл Фреше

Розподіл Фреше, також відомий як обернений розподіл Вейбулла , є окремим випадком узагальненого розподілу екстремального значення. Він має кумулятивну функцію розподілу

Розподіл Фреше
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$\alpha \in (0,\infty )$ форми. (Необов'язкові, ще два параметри) $s\in (0,\infty )$ масштаб (типове: $s=1\,$) $m\in (-\infty ,\infty )$ зсув мінімуму (типове: $m=0\,$)
Носій функції	$x>m$
Розподіл імовірностей	${\frac {\alpha }{s}}\;\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-1-\alpha }\;e^{-({\frac {x-m}{s}})^{-\alpha }}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$e^{-({\frac {x-m}{s}})^{-\alpha }}$
Середнє	${\begin{cases}\ m+s\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)&{\text{for }}\alpha >1\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}$
Медіана	$m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log _{e}(2)}}}$
Мода	$m+s\left({\frac {\alpha }{1+\alpha }}\right)^{1/\alpha }$
Дисперсія	${\begin{cases}\ s^{2}\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}\right)&{\text{for }}\alpha >2\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\begin{cases}\ {\frac {\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)-3\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+2\Gamma ^{3}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)}{\sqrt {\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{3}}}}&{\text{for }}\alpha >3\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\begin{cases}\ -6+{\frac {\Gamma \left(1-{\frac {4}{\alpha }}\right)-4\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+3\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)}{\left[\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right]^{2}}}&{\text{for }}\alpha >4\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}$
Ентропія	$1+{\frac {\gamma }{\alpha }}+\gamma +\ln \left({\frac {s}{\alpha }}\right)$, де $\gamma$ — стала Ейлера—Маскероні.
Твірна функція моментів (mgf)	Примітка: $k$ момент існує за умови$\alpha >k$
Характеристична функція

$\Pr(X\leq x)=e^{-x^{-\alpha }}{\text{ if }}x>0.$

де α > 0 є параметром форми. Його можна узагальнити надаючи йому параметру розташування m (мінімум) і параметра масштабу s > 0 з кумулятивною функцією розподілу

$\Pr(X\leq x)=e^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}{\text{ if }}x>m.$

Названий на честь Моріса Фреше , який написав статтю про цей розподіл у 1927 році, подальша робота була зроблена Фішером і Типпетом в 1928 і Гумбелем в 1958 році.

Характеристики

Єдиний параметр Фреше $\alpha$ має стандартизований момент

$\mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}\,dt,$

(з $t=x^{-\alpha }$) визначений тільки при $k<\alpha$:

$\mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)$

де $\Gamma \left(z\right)$ це Гамма-функція.

Зокрема:

• Для $\alpha >1$ математичне сподівання дорівнює $E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})$
• Для $\alpha >2$ в дисперсія становить ${\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}.$

Квантиль $q_{y}$ порядку $y$ можна виразити оберненням функції розподілу,

$q_{y}=F^{-1}(y)=\left(-\log _{e}y\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}$.

Зокрема, медіана - це:

$q_{1/2}=(\log _{e}2)^{-{\frac {1}{\alpha }}}.$

Мода розподілу $\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}.$

Особливо для 3-параметричного розподілу Фреше, перший квартиль дорівнює $q_{1}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log(4)}}}$, а третій квартиль $q_{3}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log({\frac {4}{3}})}}}.$

Також квантили для середнього та режиму:

$F(mean)=\exp \left(-\Gamma ^{-\alpha }\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)$

$F(mode)=\exp \left(-{\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right).$

Застосування

Моделювання кумулятивною функцією розподілу Фреше екстремальних одно-денних дощів

• В гідрології, розподіл Фреше застосовується для моделювання екстремальних явищ, таких як річна максимальна одноденна кількість опадів і річкового стоку. Блакитний малюнок, зроблений на ПЗ CumFreq ілюструє моделювання розподілом Фреше річного денного максимуму опадів в Омані, на малюнку також показано 90% довірчий інтервал побудований на основі біноміального розподілу. Кумулятивні частоти спостережень кількости опадів представлені ґрафіком позицій в рамках сукупного частотного аналізу.

Однак, здебільшого в гідрології підгонку розподілу здійснюють через узагальнений розподіл екстремальних значень, що дозволяє уникнути припущення про відсутність нижньої межі розподілу (як того вимагає розподіл Фреше). ^{[джерело?]}

• Один тест для оцінки асимптотичної залежности чи незалежности багатовимірного розподілу полягає у перетворенні даних в стандартні відособлення Фреше за допомогою перетворення $Z_{i}=-1/\log F_{i}(X_{i})$ а потім відображення з картезіанських до псевдо-полярних координат $(R,W)=(Z_{1}+Z_{2},Z_{1}/(Z_{1}+Z_{2}))$. Значення $R\gg 1$ відповідають граничним даним, для яких принаймні один компонент екстремальний, тоді як $W$ близькі до 1 або 0 означає, що тільки один компонент екстремальний.

Пов'язані розподіли

• Якщо $X\sim U(0,1)\,$ (Рівномірний розподіл (безперервне)) тоді $m+s(-\log(X))^{-1/\alpha }\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,$
• Якщо $X\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,$ тоді $kX+b\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,ks,km+b)\,$
• Якщо $X_{i}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,$ і $Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\,$ тоді $Y\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m)\,$
• Функція розподілу розподілу Фреше є розв'язком рівняння максимального постулату стабільности
• Якщо $X\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m=0)\,$ тоді обернена випадкова величина має розподіл Вейбулла: $X^{-1}\sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =s^{-1})\,$

Властивості

• Розподіл Фреше є максимальним стабільним розподілом
• Фреше розподілена випадкова величина зі знаком мінус є мінімальним стабільним розподілом

Див. також

• Type-2 Gumbel distribution
• Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
• CumFreq (application software for probability distributions including Fréchet)

Публікації

• Fréchet, M., (1927). "Sur la loi de probabilité de l'écart maximum." Ann. Soc. Polon. Math. 6, 93.
• Fisher, R.A., Tippett, L.H.C., (1928). "Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample." Proc. Cambridge Philosophical Society 24:180–190.
• Gumbel, E.J. (1958). "Statistics of Extremes." Columbia University Press, New York.
• Kotz, S.; Nadarajah, S. (2000) Extreme value distributions: theory and applications, World Scientific. ISBN 1-86094-224-5

Ланки

• An application of a new extreme value distribution to air pollution data^{[недоступне посилання]} (англ.)
• Wave Analysis for Fatigue and Oceanography [Архівовано 10 червня 2019 у Wayback Machine.] (англ.)