Розподіл Вейбулла

Розподіл Вейбулла (англ. Weibull distribution) — неперервний розподіл ймовірностей. Названий на честь Валодді Вейбулла (англ. Waloddi Weibull), котрий навів детальне описання розподілу в 1951 році, хоча першим його відкрив Фреше (1927) а застосував Розін та Рамлєр в 1933 для опису розподілу розміру гранул. Функція щільності розподілу Вейбулла x має вигляд::

Вейбул (2-параметричний)
[[File:cdf_image = parameters =$\lambda >0\,$ scale (real) $k>0\,$ shape (real)|frameless]]
Параметри	{{{parameters}}}
Носій функції	$x\in [0;+\infty )\,$
Розподіл імовірностей	$f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geqslant 0\\0&x<0\end{cases}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$
Середнє	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$
Медіана	$\lambda (\ln(2))^{1/k}\,$
Мода	$\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,$ if $k>1$
Дисперсія	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
Коефіцієнт ексцесу	(see text)
Ентропія	$\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$
Твірна функція моментів (mgf)	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$
Характеристична функція	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$

$f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geqslant 0\\0&x<0\end{cases}}$

де $k>0$ визначає форму графіку, а $\lambda >0$ шкалу розподілу.

Визначення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задається щільністю $f_{X}(x)$, що має вид:

$f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}},&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right..$

Тоді говорять, що $X$ має розподіл Вейбула. Пишуть: $X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )$.

Моменти

Моменти випадкової величини $X$, що має розподіл Вейбулла мають вид

$\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$,

звідки

$\mathbb {E} [X]=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)$,

$\mathrm {D} [X]=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]$.

Зв'язок з іншими розподілами

• Експоненційний розподіл є частковим випадком розподілу Вейбулла:

$\mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \mathrm {W} \left(1,{\frac {1}{\lambda }}\right)$.

• Метод зворотного перетворення: якщо $U\sim \mathrm {U} (0,1)$, те

$\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k}\sim \mathrm {W} (k,\lambda )$.

Див. також

• Часовий ряд
• Експоненційний розподіл

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)