Нецентрований хі-квадрат розподіл

У теорії ймовірностей і статистиці нецентрований розподіл хі-квадрат (нецентрований $\chi ^{2}$ розподіл) — це нецентроване узагальнення розподілу хі-квадрат. Він часто зустрічається при аналізі потужності статистичних тестів, в яких розподіл параметра при нульовій гіпотезі є (можливо, асимптотично) хі-квадрат розподілом. Важливими прикладами таких тестів є тести на відношення правдоподібності.

Нецентрований хі-квадрат
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$k>0\,$ — ступені свободи $\lambda >0\,$ — параметр нецентральности,
Носій функції	$x\in [0;+\infty )\,$
Розподіл імовірностей	${\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)$ де$Q_{M}(a,b)\,$ — Q-функція Маркума
Середнє	$k+\lambda \,$
Дисперсія	$2(k+2\lambda )\,$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {2^{3/2}(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{3/2}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for }}2t<1$
Характеристична функція	${\frac {\exp \left({\frac {i\lambda t}{1-2it}}\right)}{(1-2it)^{k/2}}}$

Передумови

Нехай $(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})$ - k незалежних, нормально розподілених випадкових величин із середніми $\mu _{i}$ та одиничною дисперсією. Тоді випадкова величина

$\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}$

розподілена за нецентрованого хі-квадрат розподілу. У цього розподілу два параметри: $k$ який визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість $X_{i}$) і $\lambda$ що пов'язане із середнім значенням випадкових величин $X_{i}$ формулою:

$\lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}.$

іноді $\lambda$ називають параметром нецентрованості . Зверніть увагу, в деяких джерелах $\lambda$визначають інакше, наприклад, половиною вищезазначеної суми чи квадратним коренем з неї.

Цей розподіл виникає у багатовимірній статистиці як похідна від багатовимірного нормального розподілу . Тоді як центрований хі-квадрат розподіл - це квадрат норми випадкового вектора з розподілом $N(0_{k},I_{k})$ (тобто квадрат відстані від початку координат до випадкової точки-реалізації випадкової величини, що має такий розподіл), нецентрований $\chi ^{2}$ - це квадрат норми випадкового вектора з розподілом $N(\mu ,I_{k})$. Тут $0_{k}$ - нульовий вектор з k елементів, $\mu =(\mu _{1},\ldots ,\mu _{k})$ і $I_{k}$ - k вимірна одинична матриця.

Означення

Функція густини ймовірності (pdf) задається як

$f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{i}}{i!}}f_{Y_{k+2i}}(x),$

де $Y_{q}$ розподілена за законом хі-квадрат з $q$ ступенямии свободи.

З цього запису випливає, що нецентрований хі-квадрат розподіл є зваженою Пуассоном сумішшю центральних хі-квадрат розподілів. Нехай випадкова величина J має розподіл Пуассона із середнім значенням $\lambda /2$, та умовний розподіл Z, заданий J = i - хі-квадрат із k + 2 i ступеня свободи. Тоді безумовний розподіл Z є нецентрованим хі-квадрат розподілом з k ступенями свободи та параметром нецентрованості $\lambda$ .

Крім того, щільність можна подати формулою

$f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})$

де $I_{\nu }(y)$ - модифікована функція Бесселя першого роду:

$I_{\nu }(y)=(y/2)^{\nu }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (\nu +j+1)}}.$

Використовуючи зв'язок функції Бесселя з гіпергеометричними функціями, щільність також можна записати як:

$f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x/4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}.$

У Зіґеля (1979) описано випадок k = 0 (нуль ступенів свободи) докладно, у цьому випадку розподіл має дискретну складову в нулі.

Властивості

Твірна функція

Твірна функція моментів, задається формулою

$M(t;k,\lambda )={\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}.$

Моменти

Перші кілька початкових моментів:

$\mu '_{1}=k+\lambda$

$\mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )$

$\mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )$

$\mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda )$

Перші кілька центральних моментів:

$\mu _{2}=2(k+2\lambda )\,$

$\mu _{3}=8(k+3\lambda )\,$

$\mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )\,$

N-а кумулянта є

$K_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).\,$

Отже

$\mu '_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}}(k+j\lambda )\mu '_{n-j}.$

Функція розподілу

Знову використовуючи співвідношення між центрованим та нецентрованим розподілами хі-квадрат, функцію розподілу (cdf) можна записати як

$P(x;k,\lambda )=e^{-\lambda /2}\;\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}Q(x;k+2j)$

де $Q(x;k)\,$ - функція розподілу центрованого розподілу хі-квадрат із k ступенями свободи, що записується як

$Q(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,$

і де $\gamma (k,z)\,$ - нижня неповна гамма-функція.

Можна також скористатися Q-функцією Маркума $Q_{M}(a,b)$ для запису функції розподілу

$P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)$

Наближення (у тому числі для квантилів)

Абдель-Аті виводять (як "перше наближення") нецентроване наближення Вільсона-Гілферті:

$\left({\frac {\chi '^{2}}{k+\lambda }}\right)^{\frac {1}{3}}$ має приблизно нормальний розподіл, $\sim {\mathcal {N}}\left(1-{\frac {2}{9f}},{\frac {2}{9f}}\right),$ тобто

$P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {\left({\frac {x}{k+\lambda }}\right)^{1/3}-\left(1-{\frac {2}{9f}}\right)}{\sqrt {\frac {2}{9f}}}}\right\},{\text{where }}\ f:={\frac {(k+\lambda )^{2}}{k+2\lambda }}=k+{\frac {\lambda ^{2}}{k+2\lambda }},$

що є досить точним і добре адаптовним до нецентрованості. Крім того, $f=f(k,\lambda )$ стає $f=k$ при $\lambda =0$, (центрований) хі-квадрат розподіл.

Санкаран описує ряд аналітичних виразів наближень функції розподілу. В своїх ранніх роботах він отримав та довів наступне наближення:

$P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {({\frac {x}{k+\lambda }})^{h}-(1+hp(h-1-0.5(2-h)mp))}{h{\sqrt {2p}}(1+0.5mp)}}\right\}$

де

$\Phi \lbrace \cdot \rbrace \,$ позначає функцію розподілу стандартного нормального розподілу;

$h=1-{\frac {2}{3}}{\frac {(k+\lambda )(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}\,;$

$p={\frac {k+2\lambda }{(k+\lambda )^{2}}};$

$m=(h-1)(1-3h)\,.$

Це та інші наближення описані в його пізніших підручниках.

Для даної ймовірності ці формули легко обернути для обчислення досить точних наближеннь $x$ відповідних квантилів.

Виведення функції щільности

Виведення функції щільності ймовірності найлегше зробити, виконавши наступні кроки:

1. Оскільки $X_{1},\ldots ,X_{k}$ мають одиничні дисперсії, їх спільний розподіл сферично симетричний, аж до зсуву місця.
2. Тоді сферична симетрія означає, що розподіл $X=X_{1}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}$ залежить від середніх значень лише через квадрат довжини, $\lambda =\mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{k}^{2}$ . Тому, без обмеження загальности можна взяти $\mu _{1}={\sqrt {\lambda }}$ і $\mu _{2}=\cdots =\mu _{k}=0$ .
3. Тепер обчислимо щільність $X=X_{1}^{2}$ (тобто k = 1 випадок). Просте перетворення випадкових величин дає

${\begin{aligned}f_{X}(x,1,\lambda )&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(\phi ({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+\phi ({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh({\sqrt {\lambda x}}),\end{aligned}}$

де $\phi (\cdot )$ - функція щільности стандартної нормальної випадкової величини.

1. Розкладемо гіперболічну функцію в ряд Тейлора. Це дає зважену за Пуассоном суміш представлення щільності, поки ще для k = 1. Індекси на випадкових величин в хі-квадрат розподілених випадкових величинах в наведеному вище ряді в цьому випадку є 1 + 2 i.
2. Нарешті, для загального випадку. Припустимо без обмеження загальності $X_{2},\ldots ,X_{k}$ є стандартні нормальні, отже $X_{2}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}$ має центрований хі-квадрат розподіл з ( k − 1) ступенями свободи, незалежна від $X_{1}^{2}$. Використовуючи запис $X_{1}^{2}$ у вигляді Пуасонівської суміші, і той факт, що сума хі-квадрат випадкових величин має також хі-квадрат, отримуємо результат. Індексами в ряді є (1 + 2 i ) + ( k − 1) = k + 2 i як і треба показати.

Пов’язані розподіли

• Якщо $V$ хі квадрат розподілена в.в.: $V\sim \chi _{k}^{2}$, тоді $V$ також нецетровано хі квадрат розподілена з нульовим параметром нецетральности: $V\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)$
• Лінійна комбінація незалежних нецентральних хі квадрат розподілених випадкових величин $\xi =\sum _{i}\lambda _{i}Y_{i}+c,\quad Y_{i}\sim \chi '^{2}(m_{i},\delta _{i}^{2})$, має узагальнений хі квадрат розподіл.
• Якщо $V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )$ і $V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)$ і $V_{1}$ незалежна від $V_{2}$, тоді нецентрально <i id="mwARo">F</i>-розподілена величину можна отримати як ${\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda )$
• Як $J\sim \mathrm {Poisson} \left({{\frac {1}{2}}\lambda }\right)$, тоді $\chi _{k+2J}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )$
• Якщо $V\sim {\chi '}_{2}^{2}(\lambda )$, тоді ${\sqrt {V}}$ - розподілена за розподілом Райса з параметром ${\sqrt {\lambda }}$ випадкова величина.
• Наближення нормальним розподілом: якщо $V\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )$, тоді ${\frac {V-(k+\lambda )}{\sqrt {2(k+2\lambda )}}}\to N(0,1)$ за розподілом при $k\to \infty$ чи $\lambda \to \infty$.
• Якщо $V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda _{1})$і $V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(\lambda _{2})$, де $V_{1},V_{2}$ - незалежні, тоді $W=(V_{1}+V_{2})\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda _{1}+\lambda _{2})$, де $k=k_{1}+k_{2}$.
• Взагальному, для скінченної множини $V_{i}\sim {\chi '}_{k_{i}}^{2}(\lambda _{i}),i\in \left\{1..N\right\}$, сума цих нецентральних хі квадрат розподілених в.в. $Y=\sum _{i=1}^{N}V_{i}$ має розподіл $Y\sim {\chi '}_{k_{y}}^{2}(\lambda _{y})$, де $k_{y}=\sum _{i=1}^{N}k_{i},\lambda _{y}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}$. Це можна покажати використовуючи твірні функції моментів наступним чином: $M_{Y}(t)=M_{\sum _{i=1}^{N}V_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{N}M_{V_{i}}(t)$ використовуючи незалежність $V_{i}$ випадкових величин. Далі просто підставляємо ТФМ нецентрального хі квадрат розподілу у вираз для добутку і зведенням до нової ТФМ. Або ж зважаючи на інтерпретацію у розділі Передумови як сума квадратів незалежних норомально розподілених в.в. з варіацією 1 і відповідними середніми значеннями.
• Комплексні нецентральні хі квадрат розподіли мають застосування у радіо зв'язку і системах радарів ^{[джерело?]}. Нехай $(z_{1},\ldots ,z_{k})$ - незалежні скалярні комплексні випадкові величини з нецентральною колоавою симетрією, з середніми $\mu _{i}$ і одиничними варіаціями: $\operatorname {E} \left|z_{i}-\mu _{i}\right|^{2}=1$. Тоді дійснозначна випадкова величина $S=\sum _{i=1}^{k}\left|z_{i}\right|^{2}$ розподілена за комплексним нецентральним хі квадрат розподілом:

$f_{S}(S)=\left({\frac {S}{\lambda }}\right)^{(k-1)/2}e^{-(S+\lambda )}I_{k-1}(2{\sqrt {S\lambda }})$



де $\lambda =\sum _{i=1}^{k}\left|\mu _{i}\right|^{2}.$

Перетворення

Санкаран (1963) описує перетворення типу $z=[(X-b)/(k+\lambda )]^{1/2}$. Він аналізує розклад кумулянт $z$ до порядку $O((k+\lambda )^{-4})$ і доводить, що для деяких $b$ можна отримати прийнятні результати:

• при $b=(k-1)/2$ друга кумулянта $z$ асимптотично не залежить від $\lambda$,
• при $b=(k-1)/3$ третя кумулянта $z$ асимптотично не залежить від $\lambda$,
• при $b=(k-1)/4$ четверта кумулянта $z$ асимптотично не залежить від $\lambda$.

Крім того, більш просту трансформацію $z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}$ можна використовувати як дисперсійно-стабілізуюче перетворення, яке дає випадкову величину із середнім значенням $(\lambda +(k-1)/2)^{1/2}$ і дисперсією $O((k+\lambda )^{-2})$.

Використанню таких перетворень може завадити необхідність квадратного кореня з від’ємних чисел.

Різні хі та хі-квадрат розподіли

Name	Statistic
Розподіл хі-квадрат	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
Нецентрований хі-квадрат розподіл	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
Розподіл Хі	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
Нецентрований хі розподіл	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Використання

Використання в довірчих інтервалах

Двосторонні нормальні довірчі інтервали в регресії можна обчислити на основі нецентрованого хі-квадратрозподілу. Використовуючи його можна обчислити статистичний інтервал, в межах якого з певним рівнем довіри потрапляє певна частина вибіркової сукупності.

Список літератури

• Абрамовіц, М. та Стегун, ІА (1972), Довідник з математичних функцій, Дувр. Розділ 26.4.25.
• Джонсон, Нью-Йорк, Коц, С., Балакрішнан, Н. (1995), Безперервні одноваріантні розподіли, том 2 (2-е видання), Wiley.ISBN 0-471-58494-0
• Мюрхед, Р. (2005) Аспекти багатовимірної статистичної теорії (2-е видання). Вілі.ISBN 0-471-76985-1
• Siegel, AF (1979), "Нецентральний розподіл хі-квадрат з нульовим ступенем свободи та тестування на однорідність", Biometrika, 66, 381 – 386
• Press, S.J. (1966), Linear combinations of non-central chi-squared variates, The Annals of Mathematical Statistics, 37 (2): 480—487, doi:10.1214/aoms/1177699531, JSTOR 2238621