Локальний гомеоморфізм

У математиці, більш детально топології, локальний гомеоморфізм є функція між топологічними просторами що, інтуїтивно, зберігає локальну структуру.

Означення

Нехай $X$ і $Y$ — топологічні простіори. Відображення $f:X\to Y\,$ називається локальним гомеоморфізмом якщо для кожної точки $X$ в $X$ існує відкрита множина $U$, що містить $X$, така що образ $f(U)$ є відкритою підмножиною в $Y$ і обмеження $f|_{U}:U\to f(U)\,$ є гомеоморфізмом.

Приклади

• За означенням, кожен гомеоморфізм є також локальним гомеоморфізмом.
• Якщо $U$ є відкритою підмножиною $Y$ з індукованою топологією, тоді відображення включення $i:U\to Y$ є локальним гомеоморфізмом. Факт, що $U$ є відкритою підмножиною є важливим, в іншому випадку включення не є локальним гомеоморфізмом.
• Нехай $f:R\to S_{1}$ — відображення дійсної прямої в коло задане як $f(t)=e^{it}$ для всіх $t\in \mathbb {R}$). Це відображення є локальним гомеоморфізмом але не гомеоморфізмом.
• Нехай $f:S_{1}\to S_{1}$ — неперервне відображення кола в себе $n$. Це відображення є локальним гомеоморфізмом для всіх ненульових $n$, а гомеоморфізмом є тільки у випадках коли $n$ = 1 чи -1.
• Більш загально, будь-яке накриття є локальним гомеоморфізмом; зокрема, універсальне накриття $p:C\to Y$ простору $Y$ є локальним гомеоморфізмом. В деяких випадках справедливим є і обернене твердження. Наприклад: якщо $X$ є гаусдорфовим простором і $Y$ є локально компактним і гаусдорфовим і $p:X\to Y$ є власним локальний гомеоморфізмом, тоді $p$ є відображенням накриття.

• У комплексному аналізі голоморфна функція $f:U\to \mathbb {C}$ (де $U$ є відкритою підмножиною комплексної площини $\mathbb {C}$) є локальним гомеоморфізмом тоді і тільки тоді коли похідна $f'(z)$ є ненульовою для всіх $z\in U$. Функція $f(z)=z^{n}$ на відкритому крузі із центром 0 не є локальним гомеоморфізмом в 0 коли $n$ є не меншим 2.

• З використанням теореми про обернену функцію можна довести, що неперервно диференційовна функція $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ (де $U$ є відкритою підмножиною $\mathbb {R} ^{n}$) є локальним гомеоморфізмом якщо і тільки якщо похідна $D_{x}f$ є невиродженим лінійним відображенням (невиродженою квадратною матрицею) для кожного $x\in U$. Аналогічне твердження є справедливим для відображень між диференційовними многовидами.

Властивості

• Довільний локальний гомеоморфізм є неперервним і відкритим відображенням. Бієктивний локальний гомеоморфізм є гомеоморфізмом.

Локальний гомеоморфізм $f:X\to Y$ зберігає "локальні" топологічні властивості:

• $X$ є локально зв'язаним простором якщо і тільки якщо $f(X)$ є локально зв'язаним
• $X$ є локально лінійно зв'язаним якщо і тільки якщо $f(X)$ є локально лінійно зв'язаним
• $X$ є локально компактний простір якщо і тільки якщо $f(X)$ є локально компактним
• $X$ є простором із першою аксіомою зліченності якщо і тільки якщо $f(X)$ є таким простором

• Якщо $f:X\to Y$ є локальним гомеоморфізмом і $U$ є відкритою підмножиною $X$, тоді обмеження $f|_{U}$ є локальним гомеоморфізмом.

• Якщо $f:X\to Y$ і $g:Y\to Z$ є локальними гомеоморфізмами, тоді композиція $g\circ f:X\to Z$ також є локальним гомеоморфізмом.

Див. також

• Гомеоморфізм

Література

• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
• James, I. M. (1984). General Topology and Homotopy Theory. Springer-Verlag. ISBN 9781461382836. (англ.)
• Munkres, James R. (2000). Topology (вид. 2nd). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. (англ.)