Лема Рімана — Лебега

У математиці лема Рімана — Лебеґа, названа на честь Бернхарда Рімана та Анрі Лебега, стверджує, що перетворення Фур'є або перетворення Лапласа $L^{1}$-функції занулюється в нескінченності. Має важливе значення в гармонічному та асимптотичному аналізах.

Лема Рімана — Лебеґа стверджує, що інтеграл від функції, такої як на малюнку є малим. Інтеграл наближатиметься до нуля при збільшенні числа коливань.

Твердження

Якщо $f$ $L^{1}$-інтегровна на $\mathbb {R} ^{d}$, тобто, якщо інтеграл Лебега від $|f|$ — скінченний, то перетворення Фур'є функції $f$ задовольняє

${\hat {f}}(z)\equiv \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\exp(-iz\cdot x)\,dx\rightarrow 0,|z|\to \infty .$

Доведення

Спочатку припустимо, що $f(x)=\chi _{(a,b)}(x)$, функція індикатор відкритого інтервалу.

Тоді:

$\int f(x)e^{i\xi x}\,dx=\int _{a}^{b}e^{i\xi x}\,dx={\frac {e^{i\xi b}-e^{i\xi a}}{i\xi }}\rightarrow 0$ як $|\xi |\rightarrow \infty$

За адитивністю границь, те саме справедливо для довільної крокової функції. Тобто для будь-якої функції $f$, заданої як:

$f=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\chi _{(a_{i},b_{i})},~~c_{i}\in \mathbb {R} ,~~a_{i}\leq b_{i}\in \mathbb {R}$

Маємо:

$\lim _{|\xi |\rightarrow \infty }\int f(x)e^{i\xi x}\,dx=0$

Нарешті, нехай $f\in L^{1}$ довільна.

Зафіксуємо $\varepsilon \in \mathbb {R} >0$.

Оскільки крокові функції щільні в $L^{1}$, існує покрокова функція $g$ такий, що:

$\int \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \,dx<\varepsilon$

За нашим попереднім аргументом та означенням границі складеної функції існує $N\in \mathbb {N}$ такі, що для всіх $|\xi |>N$:

$\left\vert \int g(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert <\varepsilon$

За адитивністю інтегралів:

$\int f(x)e^{i\xi x}\,dx=\int (f(x)-g(x))e^{i\xi x}\,dx+\int g(x)e^{i\xi x}\,dx$

Використовуючи нерівність трикутника для комплексних чисел, нерівність трикутника для інтегралів, мультиплікативність абсолютного значення та формулу Ейлера:

$\left\vert \int f(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert \leq \int \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \,dx+\left\vert \int g(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert$

Для усіх $|\xi |>N$, використовуючи попередні висновки права частина попередньої нерівності обмежена $2\varepsilon$. Оскільки $\varepsilon$ було довільним, маємо:

$\lim _{|\xi |\rightarrow \infty }\int f(x)e^{i\xi x}\,dx=0$

для усіх $f\in L^{1}$.

Інші версії

Лема Рімана — Лебеґа має справедлива в багатьох інших ситуаціях.

• Якщо $fL^{1}$-інтегровна і визначена на $(0,\infty )$, то лема Рімана-Лебеґа також застосовна до перетворення Лапласа функції$f$. Тобто,

$\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-tz}\,dt\to 0$

при $|z|\to \infty$ у півплощині $Re(z)\geq 0$.

• Лема справедлива і для рядів Фур'є: якщо $f$ є інтегровною функцією на інтервалі, то коефіцієнти Фур'є функції $f$ прямують до 0 при $n\to \pm \infty$,

${\hat {f}}_{n}\ \to \ 0.$

Випливає якщо довизначити ƒ нулем поза інтервалом визначення, а відтак застосувати версію леми до всього дійсного відрізка.

• Подібне твердження є тривіальним для L² функцій. Щоб побачити це, зверніть увагу, що перетворення Фур'є переводить $L^{2}$ в $L^{2}$, а для таких функцій існують $l^{2}$ розклад в ряд Фур'є.

• Однак лема не виконується для довільних розподілів. Наприклад, розподіл дельта-функції Дірака формально має скінченний інтеграл на дійсній прямій, але його перетворення Фур'є є константою (точне значення залежить від форми використовуваного перетворення) і не прямує до нуля в нескінченності.

Застосування

Лема Рімана — Лебеґа може бути використана для доведення справедливості асимптотичних наближень для інтегралів. Строге доведення методу найшвидшого спуску та методу нерухомої фази, серед інших, базуються на лемі Рімана-Лебеґа.

Доведення

Зупинимося на одновимірному випадку, доведення для вищих порядків подібне. Нехай $f$ визначена на компактній множині гладка функція. Тоді інтегруючи частинами маємо

$\left|\int f(x)e^{-izx}\,dx\right|=\left|\int {\frac {1}{iz}}f'(x)e^{-izx}\,dx\right|\leq {\frac {1}{|z|}}\int |f'(x)|\,dx\rightarrow 0,z\rightarrow \pm \infty .$

Якщо $f$ довільна інтегровна функція, її можна наблизити за нормою $L^{1}$ визначеною на компакті гладкою функцією $g$. Виберемо g так, щоб || ƒ − g || _{L ¹} < ε. Тоді

$\limsup _{z\rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(z)|\leq \limsup _{z\to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))e^{-ixz}\,dx\right|+\limsup _{z\rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)e^{-ixz}\,dx\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon ,$

а оскільки $\varepsilon >0$ — довільне, то отримуємо твердження теореми.

Література

• Bochner S., Chandrasekharan K. (1949). Fourier Transforms. Princeton University Press.
• Weisstein, Eric W. Riemann–Lebesgue Lemma(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• https://proofwiki.org/wiki/Euler's_Formula [Архівовано 25 жовтня 2020 у Wayback Machine.]