Відкрити головне меню

Метод стаціонарної фази (наближення стаціонарної фази) — основний методом асимптотичного аналізу у математиці та математичній фізиці, що застосовується до інтегралів, підінтегральна фукція яких осицилює, тобто інтегралів на кшталт:

що беруться по n-вимірному просторі Rn де iуявна одиниця. Тут f і g — дійснозначні гладкі функції. Роль g — забезпечення збіжності; тобто , gфункція критерію. Велике дійсне число k розглядається в границі k → ∞.

Зміст

ОсновиРедагувати

Основна ідея методу стаціонарної фази полягає в скорочуванні синусоїд з у швидкозмінною фазою. Якщо багато синусоїд мають однакові фази, то вони додаються, підсилюючи одна одну. Якщо, проте, ці ж синусоїди мають фази, які швидко змінюються частотою, вони будуть додаватись, погашуючи одна одну.

ПрикладРедагувати

Розглянемо функцію

 

Фазовий доданок в цій функції,   є "стаціонарним" коли

 

або еквівалентно,

 

Розв'язок цього рівняння дає домінуючу частоту   для даних   і  . Якщо ми розкладемо   в ряд Тейлора поблизу   і знехтуємо доданками порядку вищого ніж  , то

 

Коли   велике, навіть мала різинця   згенерує швидку осциляцію в інтегралі, приводячи до скорочення. Таким чином, ми можемо розширити границі інтегрування поза границі розкалду в ряд Тейлора. Якщо ми подвоїмо вклад дійсної частини з додатніх частот перетворення щоб врахувати відємні частоти:

 

Проінтегрувавши, маємо

 


ДжерелаРедагувати

  • Прилепко А. И., Калиниченко Д. Ф. Асимптотические методы и специальные функции. — М. : МИФИ, 1980. — 107 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М. : Физматлит, 1999. — 319 с. — ISBN 5-02-015233-1.
  • Федорюк М. В. Метод перевала. — М. : Наука, 1977. — 366 с.

Див. такожРедагувати