Лагранжіан

Функція Лагранжа ${\mathcal {L}}[\varphi _{i}]$ фізичної системи — функція узагальнених координат $\ \varphi _{i}(s)$, що використовується у фізиці для побудови через певний варіаційний принцип рівнянь руху, які описують еволюцію фізичної системи. Наприклад рівняння руху класичної механіки в цьому підході отримуються з принципу найменшої дії, що записується як

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0$

де дія ${\mathcal {S}}$ — функціонал, який визначається через функцію Лагранжа як

${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},$

а $\varphi _{i}$ — узагальнені координати (наприклад, координати частинок або польові змінні),$\ s_{j}$ означає множину параметрів системи, у випадку класичної механіки — незалежні просторові координати і час, а більш широко — також електричні або інші фізичні параметри.

Функцію Лангранжа називають також лагранжіаном, однак такий вжиток має жаргонний відтінок, оскільки зазвичай суфікс -іан застосовується до квантових аналогів класичних функцій — наприклад, функція Гамільтона — гамільтоніан, функція Лагранжа — лагранжіан. Лагранжіаном також часто називають густину функції Лагранжа (див. нижче).

Рівняння, отримані з прирівнювання до нуля функціональної похідної функціонала по всіх напрямках, ідентичні до звичайних рівнянь Ейлера-Лагранжа. Динамічні системи, рівняння для яких можуть бути отримані з принципу найменшої дії для зручно вибраної функції Лагранжа, відомі як динамічні системи Лагранжа.

Існує багато прикладів динамічних систем Лагранжа, починаючи з класичної версії Стандартної моделі в фізиці елементарних частинок і закінчуючи рівняннями Ньютона в класичній механіці. Також до цієї області відносяться чисто математичні проблеми, такі як задача знаходження геодезичних рівнянь і проблема Плато.

Поняття назване на честь Жозефа Луї Лагранжа.

Приклад з класичної механіки

Поняття функції Лагранжа початково було введене для переформулювання класичної механіки у вигляді, відомому як механіка Лагранжа. В цьому контексті функція Лагранжа зазвичай береться у вигляді різниці кінетичної і потенціальної енергії механічної системи.

Для матеріальної точки у тривимірному просторі функція Лагранжа може бути записана у вигляді

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),$

де похідна по часу позначається крапкою над диференційованою величиною, ${\vec {x}}$ — радіус-вектор частинки, m — її маса і V — потенціальна енергія. Тоді рівняння Ейлера-Лагранжа буде:

$m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0$,

де $\nabla$ — градієнт.

Цей підхід еквівалентний до рівнянь Ньютона. Сила виражається через потенціал як :${\vec {F}}=-\nabla V(x)$.

Тоді рівняння

${\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}$,

яке є аналогічним до рівняння Ньютона для тіла з постійною масою. Прості обчислення ведуть до виразу

${\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt$,

що є записом другого закону Ньютона в узагальненій формі.

Для тривимірної системи зі сферичними координатами r, θ, φ з функцією Лагранжа

${\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)$

можна отримати наступні рівняння Ейлера-Лагранжа:

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.$

Функція Лагранжа швидкої частинки

Для релятивістської частинки функція Лагранжа збігається зі швидкістю зростання довжини її світової лінії в просторі Мінковського або власного часу з точністю до сталого множника:

${\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},$

де v — звичайна тривимірна швидкість частинки, c — швидкість світла, m — маса частинки.

За допомогою цієї функції Лагранжа можна отримати рівняння класичної динаміки релятивістських частинок.

Теорія поля

В теорії поля розрізняють функцію Лагранжа ${\mathcal {L}}$, через яку дія виражається як інтеграл тільки по часу

$S=\int {{\mathcal {L}}\,dt}$

і густину функції Лагранжа $\Lambda$, яку потрібно інтегрувати по всьому чотиривимірному простору-часу:

$S[\varphi _{i}]=\int {\Lambda [\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}$.

Тоді функція Лагранжа — це інтеграл по просторових змінних від густини функції Лагранжа.

І те, й інше часто називають лагранжіаном, останнім часом переважно саме густину функції Лагранжа $\Lambda$. Це корисно в релятивістських теоріях, оскільки густина функції Лагранжа визначена локально.

Квантові теорії поля у фізиці елементарних частинок, такі як квантова електродинаміка, зазвичай описуються в термінах $\Lambda$. Ця форма зручна, оскільки легко переводиться в правила, що використовуються для оцінки діаграм Фейнмана.

Електромагнітний лагранжіан

Електростатика

Електростатика (фізика статичних — тобто повільнозмінних) електричних полів, які можна (приблизно або точно) описати скалярним потенціалом і зарядженої речовини, що досить повільно рухається і, таким чином, підкоряється Ньютонівській механіці, може бути в цілому описана практично в рамках класичної механіки.

В класичній механіці лагранжіан це

${\mathcal {L}}=T-V$

де T — кінетична енергія і V — потенціальна енергія.

Для зарядженої частинки масою m і зарядом q, що знаходиться в електричному (електростатичному) полі зі скалярним потенціалом φ, кінетична енергія задається виразом

$T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$ — для однієї частинки (для багатьох береться сума).

Енергія взаємодії поля з зарядженою речовиною має вигляд

$V=q\phi \$ для одного точкового заряду (для багатьох сумується),

або

$V=\int \rho \phi \ dxdydz$ — вигляд для неперервного розподілу заряду.

(І той і інший вигляд корисно виписати окремо, хоча, звичайно, вони зводяться один до одного, якщо використовувати дельта-функцію). Енергія поля входить в член кінетичної енергії разом з кінетичною енергією частинок, записуючись як:

$T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \phi )^{2}dxdydz,$

де $\varkappa$ — «силова константа», що входить в кінцевому варіанті в закон Кулона.

Таким чином, лагранжіан електростатики, що включає в себе і кінетичну енергію (повільного) руху заряджених частинок, має такий вигляд:

${\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},$

(кожен його член виписаний нижче).

• Звичайно, цей лагранжіан може бути при необхідності доповнений іншими членами, що описують неелектричні сили, наприклад, енергією пружності і т.ін.

Проваріювавши дію з описаним в цьому параграфі лагранжіаном, легко отримати рівняння поля для електростатики (рівняння Пуассона):

$\nabla ^{2}\phi =-\varkappa \rho$

і рівняння руху частинки в електростатичному полі (що в цілому збігається з отриманим в прикладі для класичної частинки на початку статті):

$m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \phi .$

Електродинаміка

Тривимірне формулювання

У випадку електродинаміки доводиться користуватися вже не класичною потенціальною енергією, а узагальненою (залежною також від швидкостей) потенціальною енергією (енергією взаємодії):

$V=q\phi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A}$

або

$V=\int (\rho \phi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz$

де c — швидкість світла, v — швидкість частинки, j — вектор густини струму.

Енергія електромагнітного поля також повинна включати порівняно з випадком електростатики ще й енергію магнітного поля:

$T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,$

де E і H слідує вважати вираженими через електричний потенціал ф і векторний потенціал А:

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},~~~~~~~\mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A}$.

Тоді електромагнітний лагранжіан запишеться у вигляді

$L=T_{f}-q\phi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.$

або

$L=T_{f}+\int (-\rho \phi +{1 \over c}\mathbf {j} \ \cdot \mathbf {A} )dxdydz+T_{s}.$

Тут як лагранжіан речовини $T_{s}$ можна використовувати наближений вираз для повільних частинок, як описано в параграфі про електростатику, а можна використовувати (так як для електродинаміки, необмеженої повільними рухами, це актуально) релятивістський лагранжіан для швидких частинок

$T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}}}$.

Як і у випадку електростатики, при необхідності до цього лагранжіану можуть бути дописані додаткові члени, що описують неелектромагнітні сили, інші поля і т.д, що, загалом, виходить за рамки задачі опису електромагнітного лагранжіану. Строго кажучи, виписування кінетичної енергії речовини також виходить за ці рамки, однак ми його виписали, щоб опис зберігав цілісність.

При варіюванні дії з цим лагранжіаном по ф і по $A_{x},A_{y},A_{z}$ (незалежно по кожному, використовуючи другу форму запису лагранжіану), виходять рівняння Максвела, а при варіюванні по координатах заряджених частинок — використовуючи першу форму запису — рівняння руху заряджених частинок в полі, що зводиться до:

$d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F} _{L},$,

де p — (тривимірний) імпульс частинки, $\mathbf {F} _{L}$ — сила Лоренца (включаючи електричний член).

Однак простіше і швидше таке виведення виходить в чотиривимірному формулюванні (див. далі).

Чотиривимірне формулювання

В чотиривимірному формулюванні густина лагранжіану електромагнітного поля, його взаємодії з зарядженою речовиною і самої речовини виглядає так (використовуючи систему одиниць c=1):

$L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}.$

Другий член (що описує взаємодію) можна переписати так, що відповідна дія буде:

$S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}.$

(Член $L_{s}$ — звичайна густина лагранжіану швидкої — в загальному випадку — частинки; явно її можна не виписувати, оскільки для класичної теорії вона не потрібна, так як для неї потрібен лагранжіан такої частинки, виписаний як завжди — див. вище — а не його густина).

Тут c — швидкість світла, $F^{ik}$ — тензор електромагнітного поля (в лагранжіан входить його згортка — квадрат), $A_{i}$ — 4-потенціал, $j^{i}$ — чотиривимірна густина струму, $dx^{i}$ — 4-переміщення; мається на увазі нотація Ейнштейна сумування по повторюваному індексу.

Варіюванням по $A_{i}$ легко отримуються рівняння Максвела в чотиривимірній формі:

$\partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k}$,

а варіюванням по $x^{i}$ — рівняння руху для частинки:

$dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\$

де $p_{i}=mu_{i}$ — 4-імпульс, $u^{k}$ — 4-швидкість.

Лагранжіан квантової теорії поля

Лагранжіан квантової теорії поля в принципі збігається з класичним, за винятком випадків, коли для деякої частини польових змінних важко ввести класичні аналоги або їх коректно інтерпретувати; хоча, і тоді зазвичай можна, хоча б чисто формально, отримати те, що називається класичним рівнянням руху, використавши замість тієї або іншої процедури квантування поля з даним лагранжіаном наближення стаціонарної фази (стаціонарної дії) — тобто знайшовши класичне наближення опису системи.

Таким чином, лагранжіани, виписані нижче, не є у визначеному сенсі специфічними тільки для квантової теорії відповідних полів; тим не менше вони в квантовій теорії поля використовуються, будучи в деякому відношенні її основою.

Лагранжіан квантової електродинаміки

Густина лагранжіану для КЕД

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\!\not \!\!\!\,D-m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

де ψ — біспінор, ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ — його діраковське спряження, $\!F^{\mu \nu }$ — 4-тензор електромагнітного поля, D — калібрувальна коваріантна похідна, і $\not \!\!\!\,D$ — позначення Фейнмана для $\!\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$.

Лагранжіан Дірака

Густина лагранжіану для діраковського поля

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\!\not \!\!\!\;\partial -m)\psi$.

Лагранжіан квантової хромодинаміки

Густина лагранжіану для квантової хромодинаміки [1] [Архівовано 9 липня 2011 у Wayback Machine.]

${\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(\not \!\!\!\,D_{\mu }+m_{n})\psi _{n}$

де $\!D_{\mu }$ — калібрувальна коваріантна похідна КХД, и $\!F^{\alpha }{}_{\mu \nu }$ — тензор напруженості глюонного поля.

Посилання

• Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain
• David Tong Classical Dynamics [Архівовано 14 квітня 2021 у Wayback Machine.] (Cambridge lecture notes)