Відкрити головне меню

При́нцип найме́ншої ді́ї, у фізиці — стверджує, що із усіх можливих шляхів системи у конфігураційному просторі реалізується той, який відповідає мінімальному значенню дії.

Класична механіка

Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки

Принцип найменшої дії є універсальним фізичним законом і використовується для виведення рівнянь руху.

Зміст

Формулювання ГамільтонаРедагувати

У формулюванні Гамільтона, також відомому під назвою принцип Гамільтона-Остроградського, дія дорівнює

 ,

де   - функція Лагранжа. Розглядаються всі можливі траєкторії, які починаються в певній точці конфігураційного простору й закінчуються в момент часу  .

Формулювання МопертюїРедагувати

У випадку, коли функція Гамільтона явно не залежить від часу при виконанні закону збереження енергії, для знаходження енергії   використовують функцію Лагранжа:

 ,

де   є узагальнені координати a   є узагальнені імпульси.

Через функцію Лагранжа можна записати функціонал дії у вигляді:

 

де   означає редуковану (скорочену) дію.

Варіація функціоналу дії   дає:

 

Оскільки варіація дії при постійній енергії приводить до:

 

тому варіація редукованої дії буде:

 ,

де   є крива в фазовому просторі, що сполучає початкову та кінцеву точки руху системи. Оскільки узагальнена координата в загальному випадку є функція залежна від конкретиного шляху  , тобто  , тому узагальнений імпульс можна переписати як:

 

Тоді функція Гамільтона може бути подана у вигляді:

 

Оскільки швидкість переміщення по шляху   є повна похідна, тому можливе розділення диференціалів і варіаційний принцип може бути записаний у вигляді:

 

Таким чином, траєкторія руху системи   залежить від повної енергії  . Враховуючи загальний вираз для функції Лагранжа  , тоді підінтегральна функція приймає вигляд:

 

де   i   залежні від  .

Доцільно привести більш наглядний математичний вираз для Принципу Моперт'юї у випадку однієї матеріальної частки:

 

оскільки кінетична енергія   рівна постійній повній енергії   мінус потенціальній енергії  .


Дія дорівнює

 .

Розглядаються траєкторії, що починаються в певній точці координаційного простору   і закінчуються в іншій наперед вибраній точці координаційного простору   незалежно від часу, якого вимагає подолання шляху між двома точками.

ВаріаціяРедагувати

Для того, щоб знайти траєкторію системи у конфігураційному просторі, необхідно перебрати усі можливі траєкторії руху й вибрати той, для якого дія буде найменшою.

Робиться це таким чином.

Спочатку розглядається довільна траєкторія  . Потім додається довільне мале відхилення (варіація) від цієї траєкторії  , таке, щоб  . Обчислюється дія для обох траєкторій і знаходиться різниця між отриманими значеннями.

 .

Траєкторія буде реалізуватися тоді, коли ця різниця буде додатною.

Враховуючи те, що відхилення мале, функцію Лагранжа можна розкласти в ряд Тейлора, відкидаючи усі квадратичні й вищі члени.

Таким чином отримують диференційне рівняння Лагранжа (або Ейлера-Лагранжа)

 ,

справедливе тоді, коли всі сили в механічній системі потенціальні.

Ця процедура називається варіаційною процедурою. Вона є стандатним методом виведення диференційних рівнянь із інтегральних законів.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Принцип Гамільтона-Остроградського в електромеханічних системах : [монографія] / А. Чабан; Політехніка Ченстоховська, Нац. ун-т "Львів. політехніка", Львів. нац. аграр. ун-т. - Львів : Вид-во Т. Сороки, 2015. - 463 c. - Бібліогр.: с. 450-455.
  • W. R. Hamilton, «On a General Method in Dynamics.», Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308; Part II (1835) p. 95—144. (From the collection Sir William Rowan Hamilton (1805-1865): Mathematical Papers edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland. (2000); also reviewed as On a General Method in Dynamics)