Круги Форда

Круги Форда — круги з центрами в точках з координатами $(p/q,1/(2q^{2}))$ і радіусами $1/(2q^{2})$, де $p/q$ — нескоротний дріб. Кожен круг Форда дотикається до горизонтальної осі $y=0$, і будь-які два круги або дотикаються між собою, або не перетинаються.

Круги Форда. В основі темніших кругів підписано відповідні нескоротні дроби. Кожен круг дотикається до осі абсцис і сусідніх кругів. Нескоротні дроби з рівними знаменниками відповідають кругам одного радіуса.

Історія

Круги Форда — особливий випадок взаємно дотичних кругів. Системи взаємно дотичних кругів вивчав Аполлоній Перзький, на честь якого названо задачу Аполлонія і сітку Аполлонія. У XVII столітті Декарт довів теорему про співвідношення між оберненими радіусами взаємно дотичних кругів.

Круги Форда названо на честь американського математика Лестера Форда старшого, який писав про них 1938 року.

Властивості

Круг Форда, яке відповідає дробу $p/q$, позначають як $C[p/q]$ або $C[p,q]$. Кожному раціональному числу відповідає круг Форда. Крім того, півплощину $y\geqslant 1$ теж можна вважати виродженим кругом Форда нескінченного радіусу, відповідним парі чисел $p=1,q=0$.

Будь-які два різних круги Форда або не перетинаються зовсім, або дотикають між собою.

Ні в яких двох кругів Форда не перетинаються внутрішні області, попри те що в кожній точці на осі абсцис, яка має раціональну координату, до цієї осі дотикається один круг Форда.

Якщо $0<p/q<1$, то множину кругів Форда, що дотикаються $C[p/q]$, можна описати будь-яким з таких способів:

1. круги $C[r/s]$, де $|ps-qr|=1$,
2. круги $C[r/s]$, де дроби $r/s$ сусідять з $p/q$ в якому-небудь ряді Фарея, або
3. круги $C[r/s]$, де $r/s$ — найближчий менший або найближчий більший предок $p/q$ в дереві Штерна — Броко, або $p/q$ — найближчий менший або більший предок $r/s$.

Круги Форда також можна розглядати як області на комплексній площині. Модулярная група перетворень комплексної площини відображає круги Форда в інші круги Форда.

Якщо інтерпретувати верхню половину комплексної площини як модель гіперболічної площини (модель Пуанкаре на півплощині), то круги Форда можна інтерпретувати як замощення гіперболічної площини орициклами.

Будь-які два круги Форда конгруентні в гіперболічній геометрії. Якщо $C[p/q]$ і $C[r/s]$ — дотичні круги Форда, то півколо що проходить через точки $(p/q,0)$ і $(r/s,0)$ і перпендикулярне до осі абсцис — це гіперболічна пряма, що проходить також через точку дотику двох кругів Форда.

Круги Форда утворюють підмножину кругів, з яких складається сітка Аполлонія, задана прямими $y=0$ і $y=1$ і кругом $C[0/1]$.

Загальна площа кругів

Є зв'язок між загальною площею кругів Форда, функцією Ейлера $\varphi$, дзета-функцією Рімана і сталою Апері $\zeta (3)$. Оскільки ніякі два круги Форда не перетинаються по внутрішніх точках, то негайно отримуємо, що сумарна площа кругів

$\left\{C[p,q]:0\leqslant {\frac {p}{q}}\leqslant 1\right\}$

менша від 1. Ця площа дається збіжною сумою, яку можна обчислити аналітично. За визначенням, шукана площа дорівнює

$A=\sum _{q\geqslant 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}.$

Спрощуючи цей вираз, отримуємо

$A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geqslant 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geqslant 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},$

де остання рівність використовує формулу для ряду Діріхле з коефіцієнтами, що даються функцією Ейлера. Оскільки $\zeta (4)=\pi ^{4}/90$, в результаті отримуємо

$A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.$

Див. також

• Поризм Штейнера
• Поризм Понселе
• Ряд Фарея
• Сітка Аполлонія
• Ланцюг Паппа Александрійського

Посилання

• Ford's Touching Circles [Архівовано 6 серпня 2021 у Wayback Machine.] (англ.)
• Weisstein, Eric W. Круги Форда(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.