Користувач:Григоренко Н./Пісочниця

У лінійній алгебрі, матрицею Гільберта (була введена Давидом Гільбертом у 1894) називається квадратна матриця H з елементами:

H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}},i,j=1,2,3,...,n

Напрклад, матриця Гільберта 5 × 5 має вигляд:

H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.

На матрицю Гільберта можна подивитися як на матрицю, отриману з інтегралів:

H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,

тобто, як на матрицю Грама для степеней x. Вона виникає при апроксимації функцій поліномами методом найменших квадратів.

Матриця Гільберта є стандартним прикладом погано обумовлених матриць, що робить їх незручними для обчислення з допомогою обчислювально нестійких● методів. Наприклад, число обумовленості відносно $\left\|\cdot \right\|_{2}$ - норми для матриці, що наведена вище, дорівнює 4.8 · 10⁵.

Історія

Гільберт (1894) ввів матрицю Гільберта при вивченні наступного питання: "Нехай I = [a, b] — дійсний інтервал. Чи можливо тоді знайти ненульовий поліном P з цілочисельними коефіціентами такий, що інтеграл

\int _{a}^{b}P(x)^{2}dx

був би не менше будь-якого заданого числа ε > 0?" Для відповіді на дане питання Гільберт вивів точну формулу для визначника матриці Гільберта та дослідив її асимптотику. Він зробив висновок, що відповідь позитивна, якщо довжина b − a інтервала менше 4.

Властивості

Матриця Гільберта є симетричною додатньо визначеною матрицею. Більш того, матриця Гільберта є цілком додатньою матрицею.

Матриця Гільберта є прикладом ганкелевої матриці●.

Визначник матриці Гільберта може бути виражений в явному вигляді, як окремий випадок визначника Коши. Визначник матриці Гільберта n × n дорівнює

\det(H)={{c_{n}^{\;4}} \over {c_{2n}}},

де

c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.\,

Вже Гільберт помітив цікавий факт, що визначник матриці Гільберта - це зворотнє ціле число (див. послідовність A005249 у OEIS). Цей факт випливає з рівності

{1 \over \det(H)}={{c_{2n}} \over {c_{n}^{\;4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{i \choose [i/2]}.

Користуючись формулою Стірлінга можна встановити наступний асимптотичний результат:

\det(H)\approx a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}}

де a_n сходиться до константи $e^{1/4}2^{1/12}A^{-3}\approx 0.6450$ при $n\rightarrow \infty$ , де A — постійна Глейшера-Кінкелина●.

Матриця, зворотня до матриці Гільберта, може бути виражена у явному вигляді через біноміальні коефіцєнти:

(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^{2}

де n — порядок матриці. Таким чином, елементи зворотньої матриці $H^{-1}$ — цілі числа.

Число обумовленості матриці Гільберта n × n зростає як $O((1+{\sqrt {2}})^{4n}/{\sqrt {n}})$ .

Вклад Давида Гільберта в науку

Посилання

Hilbert, David (1894), Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms, Acta Mathematica^[ru], Springer Netherlands, 18: 155—159, doi:10.1007/BF02418278, ISSN 0001-5962, JFM 25.0817.02. Перепечатано в Hilbert, David. article 21. Collected papers. Т. II.
Beckermann, Bernhard (2000). The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices. Numerische Mathematik. 85 (4): 553—577. doi:10.1007/PL00005392.
Choi, M.-D. (1983). Tricks or Treats with the Hilbert Matrix. American Mathematical Monthly. 90 (5): 301—312. doi:10.2307/2975779. JSTOR 2975779.
Todd, John (1954). The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39: 109—116.
Wilf, H. S. (1970). Finite Sections of Some Classical Inequalities. Heidelberg: Springer. ISBN 3-540-04809-X.