Теорема Гільберта про базис

Теоре́ма Гі́льберта про ба́зис — одна з основних теорем теорії кілець Нетер: якщо  — кільце Нетер, то кільце многочленів R[x] також є кільцем Нетер.

ДоведенняРедагувати

Нехай   — ідеал в   (ми тут вважатимемо   комутативним, для некомутативних кілець доведення зберігається, необхідно лише вважати всі ідеали лівими), а   множина старших коефіцієнтів многочленів, його складових. Доведемо, що   — ідеал.

Справді, якщо   і   — елементи  , то   і   є старшими коефіцієнтами деяких многочленів з   —   і  . Якщо, наприклад,  , то   є старшим коефіцієнтом многочлена  . Якщо   є старшим коефіцієнтом  то   є старшим коефіцієнтом   для будь-якого елементу  . Таким чином,  — ідеал, а оскільки   — кільце Нетер, то   породжується деякими елементами  , старшими коефіцієнтами многочленів  . Нехай найбільший степінь цих многочленів рівний  . Можна вважати, що степінь кожного з цих многочленів рівний   (якщо він рівний  , то можна зробити його таким помноживши на  .

Аналогічно доводиться, що  — множина старших коефіцієнтів многочленів з  , степінь яких   (до цієї множини доданий 0 кільця) є ідеалом, і тому ідеалом, породженим елементами  . Нехай вони є старшими коефіцієнтами многочленів   степеня  

Доведемо, що ці многочлени   породжують ідеал  . Нехай  — який-небудь многочлен ідеалу  , за визначенням  . Якщо його степінь   то оскільки   по доведеному є лінійною комбінацією   старших членів многочленів   степеня  , то ми одержимо, що   буде многочленом степеня, меншого, ніж   і що також належить ідеалу  . Повторюючи при необхідності цю операцію кілька разів, можна дійти до многочлена степеня не більшого  .

Для многочлена степеня   застосовується та ж процедура, але з використанням многочленів   старші коефіцієнти яких породжують ідеал  . Далі процедура повторюється, поки ми не дійдемо до нульового многочлена.

ЛітератураРедагувати