Відкрити головне меню

Аксіоматика Гільберта

Неозначувані поняттяРедагувати

Неозначуваними поняттями в системі аксіом Гільберта є: точка, пряма, площина. Є також 3 елементарні відношення:

  • Лежати між (стосується точок);
  • Належати (стосовно точок і прямих, точок і площин, прямих і площин);
  • Конгруентність (геометрична рівність; стосується відрізків, кутів, трикутників тощо). Позначається символом ≅.

Всі точки, прямі та площини вважаються різними, якщо не зазначено інше.

АксіомиРедагувати

Система з 20 аксіом поділена на 5 груп:

I. Аксіоми належностіРедагувати

  • планіметричні:
    1. Якими б не були точки   та  , існує пряма  , якій належать ці точки.
    2. Якими б не були дві різні точки   та  , існує не більше однієї прямої, якій належать ці точки.
    3. Кожній прямій   належать принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій.
  • стереометричні:
    1. Якими б не були три точки  ,   та  , що не належать одній прямій, існує площина  , якій належать ці три точки. Кожній площині належить принаймні одна точка.
    2. Якими б не були три точки  ,   та  , що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, якій належать ці три точки.
    3. Якщо дві різні точки   та  , що належать одній прямій  , належать деякій площині  , то кожна точка, що належить прямій  , належить вказаній площині.
    4. Якщо існує одна точка  , яка належить двом площинам   та  , то існує принаймні ще одна точка  , яка належить обом цим площинам.
    5. Існують принамні чотири точки, які не належать одній площині.

ІІ. Аксіоми порядкуРедагувати

  1. Якщо точка   прямої   лежить між точками   та  , то  ,   та   — різні точки прямої, причому   лежить також між точками   та  .
  2. Для довільних двох різних точок   та  , на прямій, що ними визначається, існує принаймні одна точка  , що лежить між точками   та  , та існує принаймні одна точка  , така що точка   лежить між точками   та  .
  3. Серед довільних трьох точок, які лежать на одній прямій, існує не більше однієї точки, яка лежить між двома іншими.
  4. Аксіома Паша. Якщо у довільній площині дано трикутник   і довільну пряму, що не проходить через одну з його вершин і перетинає сторону  , то ця пряма неодмінно перетне одну з двох інших сторін   чи  .

ІІІ. Аксіоми конгруентностіРедагувати

  1. Якщо   та   — дві точки прямої  ,   — точка на цій же прямій чи на іншій прямій  , то по задану від точки   сторону прямої   знайдеться, і при цьому лише одна, точка  , така що відрізок   конгруентний відрізку  . Кожен відрізок   конгруентний відрізку  
  2. Якщо відрізки   та   конгруентні одному і тому ж відрізку  , то вони конгруентні між собою.
  3. Нехай   та   — два відрізки прямої  , які не мають спільних внутрішніх точок,   і   — два відрізки тієї ж прямої чи іншої прямої  , які також не мають спільних внутрішніх точок. Тоді якщо відрізок   конгруентний відрізку  , а відрізок   конгруентний відрізку  , то відрізок   конгруентний відрізку  .
  4. Якщо дано кут   та промінь  , що лежить в площині даного кута, то існує рівно два промені   та  , які також лежать в площині даного кута, такі, що   конгруентний   та   конгруентний  
  5. Якщо для двох трикутників   та   мають місце конгруенції:  ,  ,  , то завжди мають місце й конгруенції:  ,  .

ІV. Аксіома паралельностіРедагувати

Для аксіоми паралельності Гільберт обрав не евклідове формулювання, а еквівалентне йому та більш просте — аксіому Прокла:

  1. Нехай   — довільна пряма і   — точка, що їй не належить; тоді в площині, яка визначається точкою   й прямою  , можна провести не більше однієї прямої, яка проходить через   і не перетинає  .

V. Аксіоми неперервностіРедагувати

  1. Аксіома Архімеда. Нехай   — довільна точка на прямій між довільними точками   та  . Побудуємо точки  ,  ,  , … так, що точка   знаходиться між точками   та  ,   між   та  ,   між   та   і т. д., при цьому відрізки  ,  ,  ,  , . . . рівні між собою. Тоді завжди існує така точка  , що точка   лежить між   та  .
  2. Аксіома повноти. Точки прямої (площини) утворюють таку систему точок, яку неможливо доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом.

21-а аксіомаРедагувати

Спочатку аксіоматика Гільберта містила ще й 21-у аксіому:

«Довільним чотирьом точкам на прямій можна присвоїти імена  ,  ,  , і   так, щоб точка   лежала між точками   і  , а також між   і  ; точка   — між   і  , а також між   і  ».

Е. Г. Мур та Р. Л. Мур незалежно один від одного показали, що ця аксіома надлишкова і Е. Г. Мур в 1902 році опублікував цей результат у статті Transactions of the American Mathematical Society[1]. Цю «аксіому» можна вивести з аксіом належності та порядку.

Повнота і несуперечністьРедагувати

Як довів Альфред Тарський (1951), аксіоматика Гільберта логічно повна, тобто будь-яке (формальне) висловлювання про геометричні поняття, що містяться в ній може бути доведено або спростоване. Вона також несуперечлива, якщо несуперечлива арифметика[2].

ІсторіяРедагувати

Аксіоматику евклідової геометрії було опубліковано Давидом Гільбертом у 1899 році у святковому томі «Festschrift», присвяченому відкриттю в Ґетінґені пам'ятника Карлу Фрідріху Гаусу та його другові фізику Вільгельму Веберу. Нині «Основи геометрії» перекладено багатьма мовами світу.

Інші системи аксіомРедагувати

Догільбертові системи аксіом геометрії:

Подібні гільбертовій:

Сучасні аксіоматики:

ПриміткиРедагувати

  1. Moore, E.H. (1902). On the projective axioms of geometry. Transactions of the American Mathematical Society 3: 142–158. doi:10.2307/1986321. 
  2. Гильберта система аксиом

ПосиланняРедагувати