Аксіоматика Гільберта

Аксіоматика Гільберта — аксіоматика евклідової геометрії. Розроблена Гільбертом як повніша, ніж система аксіом Евкліда.

Неозначувані поняття ред.

Неозначуваними поняттями в системі аксіом Гільберта є: точка, пряма, площина. Є також 3 елементарні відношення:

Лежати між (стосується точок);
Належати (стосовно точок і прямих, точок і площин, прямих і площин);
Конгруентність (геометрична рівність; стосується відрізків, кутів, трикутників тощо). Позначається символом ≅.

Всі точки, прямі та площини вважаються різними, якщо не зазначено інше.

Аксіоми ред.

Система з 20 аксіом поділена на 5 груп:

I. Аксіоми належності ред.

планіметричні:
1. Якими б не були точки $A$ та $B$ , існує пряма $l$ , якій належать ці точки.
2. Якими б не були дві різні точки $A$ та $B$ , існує не більше однієї прямої, якій належать ці точки.
3. Кожній прямій $\alpha$ належать принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій.
стереометричні:
1. Якими б не були три точки $A$ , $B$ та $C$ , що не належать одній прямій, існує площина $\alpha$ , якій належать ці три точки. Кожній площині належить принаймні одна точка.
2. Якими б не були три точки $A$ , $B$ та $C$ , що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, якій належать ці три точки.
3. Якщо дві різні точки $A$ та $B$ , що належать одній прямій $l$ , належать деякій площині $\alpha$ , то кожна точка, що належить прямій $l$ , належить вказаній площині.
4. Якщо існує одна точка $A$ , яка належить двом площинам $\alpha$ та $\beta$ , то існує принаймні ще одна точка $B$ , яка належить обом цим площинам.
5. Існують принамні чотири точки, які не належать одній площині.

II. Аксіоми порядку ред.

Якщо точка $B$ прямої $l$ лежить між точками $A$ та $C$ , то $A$ , $B$ та $C$ — різні точки прямої, причому $B$ лежить також між точками $C$ та $A$ .
Для довільних двох різних точок $A$ та $C$ на прямій, що ними визначається, існує принаймні одна точка $B$ , що лежить між точками $A$ та $C$ , та існує принаймні одна точка $D$ , така що точка $C$ лежить між точками $A$ та $D$ .
Серед довільних трьох точок, які лежать на одній прямій, існує одна і лише одна точка, що лежить між двома іншими.
Аксіома Паша. Якщо у довільній площині дано трикутник $ABC$ і довільну пряму, що не проходить через одну з його вершин і перетинає сторону $AB$ , то ця пряма перетне одну і лише одну з двох інших сторін $AC$ чи $BC$ .

III. Аксіоми конгруентності ред.

Якщо $A$ та $B$ — дві точки прямої $l$ , $A'$ — точка на цій же прямій чи на іншій прямій $l'$ , то по задану від точки $A'$ сторону прямої $l'$ знайдеться, і при цьому лише одна, точка $B'$ , така що відрізок $A'B'$ конгруентний відрізку $AB$ . Кожен відрізок $AB$ конгруентний відрізку $BA$ .
Якщо відрізки $A'B'$ та $A''B''$ конгруентні одному і тому ж відрізку $AB$ , то вони конгруентні між собою.
Нехай $AB$ та $BC$ — два відрізки прямої $l$ , які не мають спільних внутрішніх точок, $A'B'$ і $B'C'$ — два відрізки тієї ж прямої чи іншої прямої $l'$ , які також не мають спільних внутрішніх точок. Тоді якщо відрізок $AB$ конгруентний відрізку $A'B'$ , а відрізок $BC$ конгруентний відрізку $B'C'$ , то відрізок $AC$ конгруентний відрізку $A'C'$ .
Якщо дано кут $\angle ABC$ та промінь $B'C'$ , що лежить в площині даного кута, то існує рівно два промені $B'D$ та $B'E$ , які також лежать в площині даного кута, такі, що $\angle DB'C'$ конгруентний $\angle ABC$ та $\angle EB'C'$ конгруентний $\angle ABC$ .
Якщо для двох трикутників $ABC$ та $A'B'C'$ мають місце конгруенції: $AB\cong A'B'$ , $AC\cong A'C'$ , $\angle BAC\cong \angle B'A'C'$ , то завжди мають місце й конгруенції: $\angle ABC\cong \angle A'B'C'$ , $\angle ACB\cong \angle A'C'B'$ .

IV. Аксіома паралельності ред.

Для аксіоми паралельності Гільберт обрав не евклідове формулювання, а еквівалентне йому та більш просте — аксіому Прокла:

Нехай $l$ — довільна пряма і $A$ — точка, що їй не належить; тоді в площині, яка визначається точкою $A$ й прямою $l$ , можна провести не більше однієї прямої, яка проходить через $A$ і не перетинає $l$ .

V. Аксіоми неперервності ред.

Аксіома Архімеда. Нехай $A_{1}$ — довільна точка на прямій між довільними точками $A$ та $B$ . Побудуємо точки $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ , … так, що точка $A_{1}$ знаходиться між точками $A$ та $A_{2}$ , $A_{2}$ між $A_{1}$ та $A_{3}$ , $A_{3}$ між $A_{2}$ та $A_{4}$ і т. д., при цьому відрізки $AA_{1}$ , $A_{1}A_{2}$ , $A_{2}A_{3}$ , $A_{3}A_{4}$ , . . . рівні між собою. Тоді завжди існує така точка $A_{n}$ , що точка $B$ лежить між $A$ та $A_{n}$ .
Аксіома повноти. Точки прямої (площини) утворюють таку систему точок, яку неможливо доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом.

21-а аксіома ред.

Спочатку аксіоматика Гільберта містила ще й 21-у аксіому:

«Довільним чотирьом точкам на прямій можна присвоїти імена $A$ , $B$ , $C$ , і $D$ так, щоб точка $B$ лежала між точками $A$ і $C$ , а також між $A$ і $D$ ; точка $C$ — між $A$ і $D$ , а також між $B$ і $D$ ».

Е. Г. Мур та Р. Л. Мур незалежно один від одного показали, що ця аксіома надлишкова і Е. Г. Мур в 1902 році опублікував цей результат у статті Transactions of the American Mathematical Society^[1]. Цю «аксіому» можна вивести з аксіом належності та порядку.

Повнота і несуперечність ред.

Як довів Альфред Тарський (1951), аксіоматика Гільберта логічно повна, тобто будь-яке (формальне) висловлювання про геометричні поняття, що містяться в ній може бути доведено або спростоване. Вона також несуперечлива, якщо несуперечлива арифметика^[2].

Історія ред.

Аксіоматику евклідової геометрії було опубліковано Давидом Гільбертом у 1899 році у святковому томі «Festschrift», присвяченому відкриттю в Ґетінґені пам'ятника Карлу Фрідріху Гаусу та його другові фізику Вільгельму Веберу. Нині «Основи геометрії» перекладено багатьма мовами світу.

Інші системи аксіом ред.

Догільбертові системи аксіом геометрії:

Аксіоматика Евкліда
Аксіоматика Паша^[en]
Аксіоматика Пеано (включає поняття «рух»)
Аксіоматика Веронезе
М. Пієрі^[en] (1899)

Подібні гільбертовій:

Сучасні аксіоматики:

Аксіоматика Тарського^[en]
Аксіоматика Біркгофа — містить «аксіому лінійки» та «аксіому транспортира». Її варіанти використовуються в більшості американських шкільних підручників, до неї близька аксіоматика Погорєлова.
Аксіоматика Вейля — оперує неозначуваними поняттями точки та вільного вектора. Пряма та площина визначаються як множини точок.

Примітки ред.

↑ Moore, E.H. (1902), On the projective axioms of geometry (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 3: 142—158, doi:10.2307/1986321, архів оригіналу (PDF) за 3 травня 2019, процитовано 20 липня 2018
↑ Гильберта система аксиом. Архів оригіналу за 20 липня 2018. Процитовано 20 липня 2018.

Посилання ред.

Д. Гільберт. Основания геометрии. [Архівовано 28 липня 2011 у Wayback Machine.] Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923. — 152 с.
Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды. [Архівовано 27 квітня 2015 у Wayback Machine.]
GeoGebraКнига: Аксіоми геометрії (Гільберт) [Архівовано 4 червня 2016 у Wayback Machine.]

[1] Moore, E.H. (1902), On the projective axioms of geometry (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 3: 142—158, doi:10.2307/1986321, архів оригіналу (PDF) за 3 травня 2019, процитовано 20 липня 2018

[2] Гильберта система аксиом. Архів оригіналу за 20 липня 2018. Процитовано 20 липня 2018.

[1]

[2]