Рівняння Ейнштейна

Рівня́ння Ейнште́йна — основні рівняння загальної теорії відносності. Невідомою величиною в рівняннях Ейнштейна є метричний тензор $g_{ik}$

Рівняння Ейнштейна
Названо на честь	Альберт Ейнштейн
Формула	$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$
Позначення у формулі	$G_{\mu \nu }$, $g_{\mu \nu }$, $\Lambda$, $G$, $c$ і $T_{\mu \nu }$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

$(1)\qquad R_{ik}-{1 \over 2}Rg_{ik}+\Lambda g_{ik}=8\pi {G \over c^{4}}T_{ik}$

де $R_{ik}$ — тензор Річчі, $R$ — скалярна кривина, $g_{ik}$ — метричний тензор, $\Lambda$ — космологічна константа, $T_{ik}$ — тензор енергії-імпульсу, який визначає негравітуючу матерію, енергію та сили в довільній точці простору-часу, $\pi$ — число пі, $c$ — швидкість світла, $G$ — гравітаційна стала, яка аналогічно фігурує у відповідному законі всесвітнього тяжіння Ньютона. Тензор Річчі, скалярне викривлення та тензор енергії-імпульсу теж залежать від метричного тензора.

У загальному випадку рівняння Ейнштейна містить космологічну константу, хоча пізніше Ейнштейн відмовився від її використання. Космологічна константа була запроваджена для того, щоб досягти стаціонарності Всесвіту, але відкриття червоного зсуву заклало сумніви в стаціонарності. Космологічна константа, можливо, відповідає темній енергії.

Інформація про розподіл мас і полів міститься в тензорі енергії-імпульсу. Для повного розгляду фізичної системи рівняння Ейнштейна повинні бути доповненими рівнянням стану матерії.

Виведення рівняння Ейнштейна

Спробуємо вивести рівняння гравітації, яке б узгоджувалося з принципами загальної теорії відносності і в граничному випадку малих мас і малих швидкостей переходило в класичний закон Всесвітнього тяжіння Ньютона. Для виводу достатньо розглянути тільки статичну задачу, коли маси не рухаються і гравітаційне поле не змінюється з часом^{[джерело?]}. В класичному випадку прискорення вільного падіння $\mathbf {g}$ до тяжіючого центру $m$ дається формулою обернених квадратів:

$(2)\qquad \mathbf {g} =-{Gm \over r^{2}}{\mathbf {r} \over r}$

Ця сила виявляється консервативною, і аналогічно до електростатики ми можемо розглядати гравітаційний потенціал $\phi$:

$(3)\qquad \phi =-{Gm \over r}$

Прискорення вільного падіння дорівнює взятому зі знаком мінус градієнту потенціалу:

$(4)\qquad \mathbf {g} =-\nabla \phi$

а із формули (3), повністю аналогічно до електростатики, одержуємо наступне рівняння Лапласа:

$(5)\qquad \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho$

де $\rho$ - густина маси. Це рівняння класичної механіки ми візьмемо за основу і спробуємо знайти його релятивістський аналог.

При переході до загальної теорії відносності ми повинні замінити густину маси $\rho$ релятивістськи-інваріантною величиною. Такою величиною, до того ж приблизно пропорційною густині $\rho$, є тензор енергії-імпульсу $T_{ij}$. Оскільки маси нерухомі, то потоку енергії немає, і недіагональні елементи тезора $T_{ij}$ дорівнюють нулю. Також ми можемо знехтувати напруженнями всередині фізичного тіла у порівнянні з дуже великою щільністю енергії спокою $W=\rho c^{2}$. Таким чином, в нашому випадку в тензорі енергії-імпульса відмінна від нуля лише одна часова компонента:

$(6)\qquad (T_{ij})={\begin{bmatrix}\rho c^{2}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

Цей тензор стоятиме (з деяким коефіцієнтом пропорційності) в правій частині шуканого рівняння - він породжує гравітацію. А що ми повинні написати в лівій частині, тобто що таке гравітація? Відповідь дав Ейнштейн, сформулювавши принцип еквівалентності - це викривлення чотиривимірного простору-часу. Сила тяжіння обчислюється за тією ж формулою, що й сили інерції в неінерційних системах координат:

$(7)\qquad F^{i}=-m\Gamma _{jk}^{i}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}$

Відповідно коваріантна координата сили тяжіння в тривимірному просторі (знак мінус враховує псевдоевклідовість):

$(8)\qquad F_{i}=m\Gamma _{jk,i}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}$

У цій формулі похідна координат береться по власному часу $\tau$ матеріальної точки:

${\dot {x}}^{j}={dx^{j} \over d\tau }$

Ми візьмемо для вимірювання сили тяжіння нерухоме пробне тіло масою $m$. Вздовж світової лінії цього тіла змінюється лише нульова координата ${\dot {x}}^{0}=c$, тому:

$(9)\qquad g_{i}=c^{2}\Gamma _{00,i}={c^{2} \over 2}\left(\partial _{0}g_{i0}+\partial _{0}g_{0i}-\partial _{i}g_{00}\right)=-{\partial \over \partial x^{i}}\left({c^{2}g_{00} \over 2}\right)$

Прирівнюючи формули (4) і (9) знаходимо, що нульова компонента метричного тензора пов'язана з гравітаційним потенціалом:

$(10)\qquad \phi ={c^{2}g_{00} \over 2}+const$

Константу інтегрування ми можемо знайти, знаючи що на нескінченності (великій відстані від тяжіючих тіл) нульова компонента метричного тензора дорівнює одиниці, а потенціал перетворюється в нуль згідно з формулою (3). Отже:

$(11)\qquad g_{00}=1+{2\phi \over c^{2}}$

Тепер ми готові підібрати релятивістський аналог для лівої частини формули (5). Ясно, що цей аналог повинен містити другі похідні метричного тензора $g_{ij}$ і одночасно бути тензором, щоб задовольнити основну вимогу загальної теорії відносності - бути інваріантним щодо довільної заміни системи координат. Ми не можемо використати частинні похідні $\partial ^{2}g_{ij} \over \partial x^{k}\partial x^{l}$ самі по собі, оскільки вони не є тензором (при заміні системи координат перетворюються не за тензорними правилами). Також ми не можемо скористатися коваріантною похідною, оскільки відомо, що коваріантна похідна метричного тензора $\nabla _{k}g_{ij}$ тотожно дорівнює нулю. Але нам підходить тензор внутрішньої кривини (тензор Рімана):

$(12)\qquad R_{\;ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ki}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}$

$(13)\qquad R_{pijk}={1 \over 2}\left({\partial ^{2}g_{ij} \over \partial x^{k}\partial x^{p}}+{\partial ^{2}g_{kp} \over \partial x^{i}\partial x^{j}}-{\partial ^{2}g_{ik} \over \partial x^{j}\partial x^{p}}-{\partial ^{2}g_{jp} \over \partial x^{i}\partial x^{k}}\right)+\Gamma _{ij}^{s}\Gamma _{kp,s}-\Gamma _{ik}^{s}\Gamma _{jp,s}$

Ясно, що при малому викривленні простору-часу ми можемо вибрати близьку до декартової систему координат. В ній символи Крістофеля будуть близькими до нуля, тому відкинувши (два останні) квадратичні доданки в формулі (13) ми в правій частині матимемо суму других похідних від метричного тензора. В цій сумі також будуть присутні другі похідні від $g_{00}$, тобто від гравітаційного потенціалу (формула 11).

Тензор Рімана $R_{pijk}$ має чотири індекси, тому ми не можемо його безпосередньо прирівнювати до тензора енергії-імпульсу $T_{ij}$ з двома індексами. Зменшити кількість індексів можна, розглядаючи лінійні комбінації компонент тензора Рімана (12). Очевидно, ці лінійні комбінації теж містять суму інших похідних від гравітаційного потенціалу $\phi$ (так що залишається надія одержати аналог лівої частини формули (5)). Ми не будемо вводити нових фізичних величин, а скористаємося для коефіцієнтів цих лінійних комбінацій самим метричним тензором - тобто розглянемо згортки тензора Рімана. Однократна згортка тензора $R_{\;ijk}^{s}$ за індексами $(sj)$ дає тензор Річчі R_{ik}:

$(14)\qquad R_{ik}=R_{\;isk}^{s}$

Цей тензор симетричний і має два індекси, як і в тензора енергії-імпульсу $T_{ij}$. Але окрім (14) ми можемо утворити ще один симетричний тензор, помноживши метричний тензор $g_{ij}$ на скалярну кривину $R$, яка є згорткою тензора Річчі:

$(15)\qquad R=g^{ij}R_{ij}$

Отже природними кандидатами на релятивістське узагальнення рівняння (5) є такі лінійні комбінації:

$(16)\qquad \alpha R_{ij}+\beta Rg_{ij}=kT_{ij}$

де коефіцієнти $(\alpha ,\beta ,k)$ є константами. Ці коефіцієнти можна уточнити, скориставшись локальним законом збереження енергії-імпульсу:

$(17)\qquad \nabla ^{j}T_{ij}=0$

Отже дивергенція від лівої частини формули (16) повинна дорівнювати нулю. Якби тензор Рімана був зовсім довільним, то добитися нульової дивергенції ми не змогли б ні при яких ненульових константах $(\alpha ,\beta )$. Але на щастя, як чисто математична властивість, коваріантні похідні тензора Рімана пов'язані диференціальною тотожністю Біанкі:

$(18)\qquad \nabla _{i}R_{jkpq}+\nabla _{j}R_{kipq}+\nabla _{k}R_{ijpq}=0$

Згорнемо цю тотожність спочатку за індексами $(k,q)$, а потім за $(j,p)$:

$(19)\qquad \nabla _{i}R_{jp}-\nabla _{j}R_{ip}+\nabla ^{k}R_{ijpk}=0$

$(20)\qquad \nabla _{i}R-\nabla _{j}R_{ij}-\nabla ^{k}R_{ik}=0$

Із останньої рівності, перейменувавши індекс, за яким проходить згортка, ми можемо виразити дивергенцію тензора Річчі $\nabla ^{j}R_{ij}$ через градієнт скалярної кривини $\nabla _{i}R$:

$(21)\qquad \nabla ^{j}R_{ij}={1 \over 2}\nabla _{i}R$

Тепер ми готові, щоб застосувати дивергенцію до рівняння (16):

$(22)\qquad \nabla ^{j}\left(\alpha R_{ij}+\beta Rg_{ij}\right)={\alpha \over 2}\nabla _{i}R+\beta \nabla _{i}R=\left({\alpha \over 2}+\beta \right)\nabla _{i}R=0$

Ця рівність (закон збереження енергії-імпульсу) буде тотожно задовольнятися, якщо коефіцієнт $\beta$ дорівнює:

$(23)\qquad \beta =-{\alpha \over 2}$

Ясно, що тепер коефіцієнт $\alpha$ не може дорівнювати нулю (інакше з врахуванням (23) і (16) тензор $T_{ij}$ був би тотожним нулем). Поділимо рівність (16) на $\alpha$ і перепозначимо поки що невідому константу $k$. В результаті приходимо до такого рівняння гравітації:

$(24)\qquad R_{ij}-{1 \over 2}Rg_{ij}=kT_{ij}$

Нам залишилось знайти константу $k$. Для цього треба показати, що в наближенні слабкого поля, ліва частина рівняння (24) дорівнює з деяким коефіцієнтом лапласіану гравітаційного потенціалу $\nabla ^{2}\phi$ і обчислити цей коефіцієнт. Це не зовсім тривіально, оскільки окрім часової компоненти $g_{00}$ метричного тензора (формула 11), решта компонент може також змінюватися. Деталі обчислення дивіться в статті Слабке гравітаційне поле.

Варіаційний принцип і лагранжіан гравітаційного поля

Вираз в лівій частині рівняння (24) є тензором Ейнштейна другого степеня:

$(25)\qquad G_{ij}^{[2]}=R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}$

який можна одержати варіацією інтеграла Ґаусса:

$(26)\qquad \delta \int K^{[2]}d\tau ={1 \over 2}\int G_{ij}^{[2]}\delta g^{ij}d\tau$

при зміні метричного тензора $g_{ij}$ на малу величину $\delta g_{ij}$. Кривина Ґаусса другого степеня $K^{[2]}$ дорівнює половині скалярної кривини:

$(27)\qquad K^{[2]}=R/2$

Оскільки для матерії (зокрема для електромагнітного поля) тензор енергії-імпульсу теж утворюється з лагранжіана подібним чином як коефіцієнт при варіації метрики^{[джерело?]}, наприклад:

$(28)\qquad \delta \int Ld\tau =\int \left[{1 \over 2}T_{ij}\delta g^{ij}+\left({\partial L \over \partial \phi }-{\partial \over \partial x^{i}}{\partial L \over \partial {\partial \phi \over \partial x^{i}}}\right)\delta \phi \right]d\tau$

то віднімаючи від (28) попередньо помножене рівняння (26) (з належним множником, оберненим до коефіцієнта в правій частині рівняння (1)) одержимо сукупний лагранжіан матерії та гравітаційного поля:

$(29)\qquad L_{\text{total}}=L-{c^{4} \over 16\pi G}R$

при варіації якого одержується все: як рівняння Ейнштейна для гравітації, так і рівняння руху матерії:

$(30)\qquad \delta \int L_{\text{total}}d\tau =\int \left[{1 \over 2}\left(T_{ij}-{c^{4} \over 8\pi G}G_{ij}\right)\delta g^{ij}+\left({\partial L \over \partial \phi }-{\partial \over \partial x^{i}}{\partial L \over \partial {\partial \phi \over \partial x^{i}}}\right)\delta \phi \right]d\tau$

Другий доданок в правій частині (29) є лагранжіаном гравітаційного поля:

$(31)\qquad L_{g}=-{c^{4} \over 16\pi G}R={c^{4} \over 8\pi G}\left(-K^{[2]}\right)$

Філософія щодо єдності законів фізики

Варіаційний принцип зустрічається не тільки тут, але в усіх основних розділах фізики: класичній механіці, квантовій механіці, електродинаміці, теорії відносності. Така поширеність наводить на думку, що всі закони фізики пов'язані якимось (ще невідомим науці) одним універсальним рівнянням^{[джерело?]}. Це рівняння може утворюватись варіацією "всезагальної дії" від деякого загального лагранжіана. Сам Альберт Ейнштейн займався пошуками цього рівняння, хоча без значних успіхів. Одним із результатів Ейнштейна є поправка із космологічною сталою.

Поправки до рівняння Ейнштейна

Розглянемо замість виразу (31) будь-яку функцію від тензора Рімана та його коваріантних похідних, яка утворює скаляр за тензорними правилами. Наприклад:

$(32)\qquad L_{g}={c^{4} \over 8\pi G}\left(-{R \over 2}+\Lambda +a_{1}{\sqrt {R}}+a_{2}R^{2}+a_{3}(R_{j}^{i}R_{i}^{j})+\dots \right)$

Тоді при варіації цього узагальненого лагранжіана ми одержимо Узагальнений тензор Ейнштейна. Він наслідує основні властивості тензора Ейнштейна (формула 25) другого степеня: симетричний, релятивістськи інваріантний, нульова дивергенція. Єдина умова на поправки в формулі (32): вони мають бути малими в масштабах ближнього космосу (тобто Сонячної системи), щоб виконувався закон тяжіння Ньютона. Але в інших масштабах вони можуть проявитися. Зокрема члени з $\Lambda ,\;a_{1}$ при великих масштабах - вселенських і галактичних. Квадратичні члени з $a_{2},\;a_{3}$ можуть проявитися в малих, зокрема мікроскопічних масштабах. Докладніше це описано в статті Поправки до рівняння Ейнштейна.

Розв'язки

Рівняння Ейнштейна нелінійні й розв'язки можна знайти в дуже обмеженій кількості випадків. Найвідоміший розв'язок — метрика Шварцшильда для сферично-симетричного розподілу маси.

Див. також

• Розв'язок Керра — Ньюмена

Посилання

• Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1967). Теория поля. Теоретическая физика, т.2. Москва: Госиздат., 460 с.