Математичне формулювання загальної теорії відносності

У цій статті розглядається математична основа загальної теорії відносності.

Початкові положенняРедагувати

Наше інтуїтивне сприйняття свідчить, що простір-час є регулярним і неперервним, тобто не має «дірок». Математично ці властивості означають, що простір-час буде моделюватися гладким диференційовним многовидом 4 вимірів  , тобто простором розмірності 4, для якого окіл кожної точки схожий локально на чотиривимірний евклідів простір. Гладкість тут означає достатню диференційовність, поки без уточнення її ступеня.

Оскільки крім того з хорошою точністю виконуються закони спеціальної теорії відносності, то такий многовид можна наділити лоренцевою метрикою, тобто невиродженим метричним тензором з сигнатурою   (або, що еквівалентно,  ). Значення цього розкривається в наступному розділі.

Геометрія простору-часуРедагувати

NB Ця стаття дотримується класичних домовленостей щодо знаків Мізнера, Торна і Вілера[1]

У цій статті приймається також угода Ейнштейна для підсумовування за повторюваними індексами.

Метричний тензорРедагувати

Диференційовний многовид[2] M, забезпечений лоренцевим метричним тензором g, і є таким чином лоренцевим многовидом, який є частковим випадком псевдоріманового многовида (визначення «лоренців» буде уточнено далі в тексті; див. розділ Лоренцева метрика).

Візьмемо довільну систему координат   в околі точки  , і нехай   — локальний базис у дотичному просторі   до многовида   у точці  . Дотичний вектор   запишеться тоді як лінійна комбінація базисних векторів:

 

При цьому величини   називаються контраваріантними компонентами вектора w. Метричний тензор   тоді — симетрична білінійна форма:

 

де через   позначено дуальний відносно   базис в кодотичному просторі  , тобто такі лінійні форми на  , що:

 

Далі будемо припускати, що компоненти   метричного тензора змінюються в просторі-часі неперервно[3].

Метричний тензор, таким чином, може бути поданий дійсною симетричною матрицею 4x4:

 

Взагалі будь-яка дійсна матриця 4x4 має апріорі 4 x 4 = 16 незалежних елементів. Умова симетрії зменшує це число до 10: насправді, залишається 4 діагональних елементи, до яких треба додати (16 — 4)/2 = 6 недіагональних елементів. Тензор   має, таким чином, тільки 10 незалежними компонент.

Скалярний добутокРедагувати

Метричний тензор визначає для кожної точки   многовида псевдо-скалярний добуток («псевдо-» в тому сенсі, що відсутня позитивна визначеність асоційованої квадратичних форм (квадрата вектора); див. Лоренцева метрика) в дотичному до різноманіття   в точці   псевдоевклідовому просторі  . Якщо   і   — два вектора  , їх скалярний добуток запишеться як:

 

Зокрема, взявши два базисних вектори, отримуємо компоненти:

 

Зауваження: якщо величини   позначають контраваріантні компоненти вектора w, то можна визначити також його коваріантні компоненти як:

 

Елементарна відстань — інтервалРедагувати

Розглянемо вектор елементарного переміщення   між точкою   і нескінченно близькою точкою:  . Інваріантною інфінітезимальною нормою цього вектора буде дійсне число, що позначається  , зване коефіцієнтом інтервалу, і рівне:

 .

Якщо позначити компоненти вектора елементарного переміщення «по фізичному»  , інфінітезимальний квадрат довжини (інтервалу) запишеться формально як:

 

Увага: в цій формулі, а також і далі,   є дійсним числом, що інтерпретується як фізично «інфінітезимальна зміна» координати  , а не як диференціальна форма!

Лоренцева метрикаРедагувати

Докладніше: Метрика Лоренца

Уточнимо тепер вираз «лоренцева» (точніше «локально лоренцева»), який означає, що метричний тензор має сигнатуру (1,3) і локально збігається в першому порядку з лоренцевою метрикою спеціальної теорії відносності. Принцип еквівалентності стверджує, що можна «стерти» локально поле гравітації, вибираючи локально інерційну систему координат. З математичної точки зору такий вибір є переформулюванням відомої теореми про можливість зведення квадратичної форми до головних осей.

У такий локально інерційній системі координат   інваріант   у точці   запишеться як:

 

де   є метрикою простору-часу Мінковського, а в малому околі цієї точки

 

де   має мінімум другий порядок малості за відхиленнями від координат точки  , тобто  . Приймаючи домовленість щодо знаків Мізнера, Торна і Вілера, маємо[1]:

 

Далі використовуються такі звичайні домовленості:

  • грецькі індекси змінюються від 0 до 3. Вони відповідають величинам у просторі-часі.
  • латинські індекси змінюються від 1 до 3. Вони відповідають просторовим складовим величин у просторі-часі.

Наприклад, 4-вектор стану запишеться в локально інерційній системі координат як:

 

Увага: насправді скінченні, а не інфінітезимальні прирости координат не утворюють вектора. Вектор з них виникає лише в однорідному просторі нульової кривини і тривіальної топології.

Лоренців характер многовида   забезпечує, таким чином, те, що дотичні до   у кожній точці псевдоевклідового простору будуть мати псевдоскалярні добутки («псевдо-» в тому сенсі, що відсутня додатна визначеність асоційованої квадратичної форми (квадрата вектора)) з трьома строго додатними власними значеннями (що відповідають простору) і одним строго від'ємним власним значенням (відповідним часу). Зокрема, елементарний інтервал «власного часу», що відокремлює дві послідовні події, завжди:

 

Загальні поняття афінної зв'язності і коваріантної похідноїРедагувати

Узагальнено, афінною зв'язністю називається оператор  , який приводить у відповідність векторному полю   з дотичного пучка   поле ендоморфізмів   цього пучка. Якщо   — дотичний вектор у точці  , зазвичай позначають

 

Кажуть, що   є «коваріантною похідною» вектора   в напрямку  . Припустимо до того ж, що   задовольняє додатковій умові: для будь-якої функції f виконується

 

Ковариантная похідна задовольняє таким двом властивостям лінійності:

  • лінійність за w, тобто, якими б не були поля векторів w і u і дійсні числа a і b, ми маємо:
 
  • лінійність за V, тобто, якими б не були поля векторів X і дійсні числа a і b, ми маємо:
 

Як тільки коваріантну похідну визначено для полів векторів, її можна поширити на тензорні поля з використанням правила Лейбніца: якщо   і   — два будь-яких тензори, то за визначенням:

 

Коваріантна похідна поля тензора вздовж вектора w є знову поле тензора того ж типу.

Зв'язність, асоційована з метрикоюРедагувати

Можна довести, що зв'язність, асоційована з метрикою — зв'язність Леві-Чивіти[1] [Архівовано 9 квітня 2016 у Wayback Machine.], є єдиною зв'язністю, яка, крім попередніх умов, додатково забезпечує те, що для будь-яких полів векторів X, Y, Z з TM

  •   (метричність — тензор неметричності дорівнює нулю).
  •  , де   — комутатор Лі від X і Y (відсутність кручення — тензор кручення дорівнює нулю).

Опис у координатахРедагувати

Коваріантна похідна вектора є вектор, і, таким чином, її можна виразити як лінійну комбінацію всіх базисних векторів:

 

де   є компонентами вектора коваріантної похідної в напрямку   (ця складова залежить від вибраного вектора w).

Щоб описати коваріантну похідну, досить описати її для кожного з базисних векторів   вздовж напрямку  . Визначимо тоді символи Крістофеля (або просто крістофелі)   залежні від 3 індексів[4]

 

Зв'язність Леві-Чивіти повністю характеризується своїми символами Крістофеля. Згідно з загальною формулою

 

для вектора V:

 

Знаючи, що  , отримуємо:

 

Перший член цієї формули описує «деформацію» системи координат відношенню коваріантної похідної, а другий — зміни координат вектора V. При підсумовуванні за німими індексами можна переписати це співвідношення у формі

 

З цього одержуємо важливу формулу для компонент:

 

Використовуючи формулу Лейбніца, так само можна продемонструвати, що:

 

Щоб обчислити ці складові в явній формі, вирази для символів Крістофеля слід визначити, виходячи з метрики. Їх легко отримати, написавши такі умови:

 

Розрахунок цієї коваріантної похідної приводить до

 

де   — компоненти «оберненого» метричного тензора, визначені рівняннями

 

Символи Крістофеля «симетричні»[5] відносно нижніх індексів:  

Зауваження: інколи визначаються також такі символи:

 

одержувані як:

 

Тензор кривини РіманаРедагувати

Тензор кривини Рімана R — тензор 4-ї валентності, визначений для будь-яких векторних полів X, Y, Z з M як

 

Його компоненти в явній формі виражаються з метричних коефіцієнтів:

 
 

Симетрії цього тензора:

 
 

Він задовольняє також таким співвідношенням:

 

Тензор кривини РіччіРедагувати

Тензор Річчі — тензор валентності 2, визначений згорткою тензора кривини Рімана

 

Його компоненти в явному вигляді через символи Крістофеля:

 

Цей тензор симетричний:  .

Скалярна кривинаРедагувати

Скалярна кривина є інваріантом, що визначається згорткою тензора Річчі з метрикою

 

Рівняння ЕйнштейнаРедагувати

Рівняння гравітаційного поля, які називаються рівняннями Ейнштейна, записуються так

 

або так

 

де   — космологічна стала,   — швидкість світла у вакуумі,   — гравітаційна стала, яка з'являється також у законі всесвітнього тяжіння Ньютона,   — тензор Ейнштейна, а   — тензор енергії-імпульсу.

Симетричний тензор   має тільки 10 незалежних складових, тензорне рівняння Ейнштейна в заданій системі координат еквівалентне системі 10 скалярних рівнянь. Ця система 10 пов'язаних нелінійних рівнянь у часткових похідних у більшості випадків дуже складна для вивчення.

Тензор енергії-імпульсуРедагувати

Тензор енергії-імпульсу може бути записаний у вигляді дійсної симетричної матриці 4x4:

 

У ньому виявляються такі фізичні величини:

  • T00 — об'ємна густина енергії. Вона має бути додатною.
  • T10, T20, T30 — густини компонент імпульсу.
  • T -01, T -02, T03 — компоненти потоку енергії.
  • Підматриця 3 x 3 з чисто просторових компонент:
 

 — матриця потоків імпульсів. У механіці рідини діагональні компоненти відповідають тиску, а решта складових — тангенціальним зусиллям (напругам або, в старій термінології — натягам), викликаним в'язкістю.

Для рідини у спокої тензор енергії-імпульсу зводиться до діагональної матриці  , де   є густина маси, а   — гідростатичний тиск.

ПриміткиРедагувати

  1. а б C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. або Ч. МИЗНЕР, К. ТОРН, Дж. УИЛЕР. ГРАВИТАЦИЯ. том I—III. М. Мир, 1977.
  2. Далі ми скрізь не пишемо індекс 4, який уточнює розмірність многовида «M».
  3. Точніше, вони мають бути принаймні класу C².
  4. Увага, символи Крістофеля не є тензорами.
  5. Слово «симетричні» взято в лапки, оскільки ці індекси в силу свого походження — не тензорні.