Відкрити головне меню

Тензор енергії-імпульсу - симетричний 4-тензор, визначений у просторі-часі, який водночас задає густину енергії та її потоків і визначає закон зміни цих величин при переході від однієї системи відліку до іншої.

Тензор енергії-імпульсу в загальному випадку має вигляд[1]:

де W - густина енергії, - потік енергії в напрямку, який задається координатою i, , де - тензор у звичайному просторі, який називають тензором напружень.

Для тензора енергії-імпульсу справедливе співвідношення

,

яке є локальним виразом законів збереження енергії та імпульсу.

Очевидна також симетрія тензора енергії-імпульсу щодо перестановок індексів. Ця властивість виражає локальний закон збереження моменту імпульса.

Значення тензора енергії-імпульсу в тому, що він входить до основного рівняння загальної теорії відносності - рівняння Ейнштейна, і, таким чином дозволяє доповнити ці рівняння рівннями стану речовини.

Класичний розгляд неперервої речовиниРедагувати

В класичній механіці рух неперервної речовини описує гідродинаміка і теорія пружності твердих тіл. Кожна частинка речовини в точці 3-вимірного простору (x, y, z) і в деякий момент часу t описується густиною:

 

а також швидкістю в цій точці:

 

і тензором напружень  , який описує силову взаємодію частинки речовини з сусідніми частинками.

 

У випадку рідини чи газу, тензор напружень діагональний і виражається через тиск   формулою:

 

тобто тиск діє в усіх напрямках однаково (закон Паскаля).

Релятивістський розгляд неперервої речовиниРедагувати

Як відомо, енергія та імпульс повинні розглядатися в поєднанні зі швидкістю, що описується чотири-вектором енергії-імпульсу:

 

Оскільки речовина "розмазана" в просторі, виділимо в якийсь момент часу ( ) елемент об'єму  . Величина чотири-вектора енергії-імпульсу   для частини речовини, що потрапила в цей об'єм, пропорційна самому об'єму з деякими коефіцієнтами пропорційності  :

 

Ліва частина цього рівняння є чотири-вектором. Дослідимо, з точки зору тензорного аналізу, що собою являє добуток в правій частині рівняння.
Почнемо з тривимірного об'єму  , представивши його у вигляді паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах  . Ці вектори можна вважати чотири-векторами, з нульовою першою (часовою) координатою. Об'єм є величиною тензора третього рангу, що складений зовнішнім добутком цих векторів:

 

Користуючись одиничним антисиметричним тензором, ми можемо також скласти дуальний чотири-вектор:

 

де g - детермінант метричного тензора.

В цій формулі множник уявної одиниці введено для того, щоб компоненти вектора   були дійсними числами. Величина цього вектора дорівнює об'єму  , а напрям ортогональний до складових векторів  . Тобто у вибраній системі координат він напрямлений вздовж осі часу:

 

Тепер ми можемо, змінюючи при потребі позначення коефіцієнтів   переписати формулу (7) так:

 

У цій формулі ми спочатку вели ще один індекс "нуль" у позначенні коефіцієнтів, а потім чисто формально додали ще три нульові доданки (оскільки згідно з (10) просторові компоненти вектора   дорівнюють нулю).

Права частина формули (11) має вигляд добутку швидкості світла на згортку тензора другого рангу з вектором. Позначимо тензор   і назвемо його тензором енергії-імпульсу. Тоді чотири-вектор енергії-імпульсу речовини, яка потрапила в елемент об'єму  , згідно з формулою (11) запишеться у вигляді згортки тензора енергії-імпульсу з чотиривектором об'єму:

 

Розписуючи покомпонентно формулу (12) і враховуючи (6) знаходимо, що коли  

 
 

тобто верхній лівий елемент матриці   має смисл густини енергії.

Тепер прирівняємо індекс   одній з просторових координат, наприклад  . Тоді

 

Звідки ми можемо виразити   двома способами, беручи до уваги зв'язок імпульса з масою   та формулу Ейнштейна  :

 

Відповідно маємо два трактування компоненти  : або густина проекції імпульсу, помножена на швидкість світла, або потік енергії в напрямку осі абсцис, поділений на швидкість світла.

Закон збереження енергії та імпульсуРедагувати

В класичній механіці сукупний імпульс системи фізичних тіл і електромагнітного поля зберігається, тобто не змінюється з часом. Те саме стосується енергії, якщо розглядити дію тільки консервативних сил. Спробуємо з’ясувати, як ці закони збереження відображаються в теорії відносності на властивостях тензора енергії-імпульсу.

Почнемо з того, що енергія і імпульс утворюють чотири-вектор (6). Операцію додавання двох просторово-рознесених векторів можна здійснити, здійснивши паралельне перенесення одного вектора в точку знаходження іншого. Така операція буде однозначною лише для плоского простору, з нульовим тензором Рімана. Отже почнемо з розгляду невеликої, обмеженої в просторі механічної системи, гравітаційним полем якої (а отже і викривленням простору) можна знехтувати. Для цього треба, щоб усі маси тіл були досить малими. Систему координат будемо вважати прямокутною декартовою.

Виберемо фіксований момент часу   i знайдемо сукупний чотири-вектор енергії-імпульсу системи, проінтегрувавши формулу (12) по всьому тривимірному простору (який є гіперплощиною в чотиривимірному просторі-часі):

 

В інший момент часу   чотири-вектор енергії-імпульсу залишиться незмінним, і нульову різницю ми можемо записати у вигляді інтеграла по чотиривимірному прошарку між двома гіперплощинами:

 

В останньому інтегралі диференціал   є інваріантним елементом чотиривимірного об'єму (див. Інтегрування по об'єму многовида):

 

Оскільки всі фізичні закони мають носити тензорний характер (а отже не залежати від вибору системи координат), то і підінтегральну функцію в правій частині (17) ми повинні замінити на істинний скаляр:

 

диференціальний оператор   (називається "набла" або коваріантна похідна, див. статтю Диференціальна геометрія) визначений навіть для кривого простору формулою:

 

У випадку метрики Мінковського:

 

метричний тензор виражається діагональною матрицею з постійними коефіцієнтами, тому символи Крістофеля в формулі (20) дорівнюють нулю, чим ми і скористалися в перетвореннях формули (19).

Перевіримо, що "зайві" три доданки в (19) не псують рівності (17). Оскільки наша механічна система обмежена в тривимірному просторі, то ми можемо взяти достатньо великий тривимірний прямокутний паралелепіпед:

 

в якому повністю міститься система в розлядуваному інтервалі часу ( ). Це зокрема означає, що за межами паралелепіпеда   (а також на його стінках), тензор енергії-імпульса   разом зі своїми похідними   перетворюється в нуль. Тому замість формули (17) ми можемо обмежити область інтегрування паралелепіпедом   і перейти від кратного до повторного інтеграла:

 

Якщо ми в самий внутрішній інтеграл (23) підставимо останній доданок формули (19), то одержимо нуль:

 

оскільки на гранях паралелепіпеда   тензор енергії-імпульсу перетворюється в нуль. Аналогічно і інтеграл від середніх двох доданків в формулі (19) дорівнює нулю. Таким чином, закон збереження енергії та імпульсу виражається формулою:

 

де інтегрування проводиться в чотиривимірному просторі між двома тривимірними гіперплощинами.

Локальний закон збереження енергії та імпульсуРедагувати

Формулу (25) не можна застосовувати в кривому просторі: по-перше вектори у віддалених точках не можна додавати внаслідок неоднозначності паралельного переносу векторів, а по-друге, неясно чим можна замінити паралельні гіперплощини в кривому просторі.

Окрім того, інтегральний закон збереження не накладає інтуїтивно-зрозумілого обмеження на рух матерії: вона, а також енергія і імпульс, не може перескакувати з одної точки простору у віддалену точку, вони можуть лише плавно "перетікати" через сусідні точки простору. Наприклад енергія не може потрапити з електростанції в лампочку через обірвані провода. Цим ми словесно описали локальність законів збереження енергії-імпульсу.

Звернемось до формул. В деякій точці (можна викривленого) простору-часу виберемо систему координат  , що є декартовою в даній точці, і в ній задамо маленький (порівняно з радіусами кривини простору та координатних ліній) чотиривимірний прямокутний паралелепіпед:

 

і запишемо формулу Остроградського-Ґаусса для дивергенції тензора енергії-імпульса в цьому паралелепіпеді:

 

в цій формулі через   позначена тривимірна "поверхня" паралелепіпеда  , яка складається із восьми "граней", а інтегрування по цій поверхні враховує напрям вектора нормалі, який напрямлений назовні паралелепіпеда  .

Дві грані, які ми для наочності назвемо "дном" і "кришкою", є паралелепіпедами в тривимірному просторі  , взятими відповідно в момент часу   і  . Тензор енергії-імпульсу якби втікає всередину паралелепіпеда через "дно" і витікає через "кришку". Різниця інтегралів по цих двох "гранях" має смисл зміни чотири-вектора енергії-імпульса в об'ємі   за час  

 

Очевидно, ця зміна повинна потрапити в тривимірний об'єм   через поверхню цього об'єму.

Розглянемо притік енергії через грань   площею   за інтервал часу  :

 

де   - щільність потоку енергії в напрямку осі абсцис. Порівняємо цей вираз з поверхневим інтегралом в правій частині формули (27) по відповідній тривимірній "бічній" грані паралелепіпеда  :

 

Ми можемо визначити компоненту тензора енергії-імпульса

 

так, щоб формули (29) і (30) відповідали одна одній. З формул (15) і (30) слідує симетрія частини компонент тензора енергії-імпульса:

 

Тепер розглянемо притік імпульса через цю саму грань   площею  . Він складається з двох доданків: по-перше, через цю грань протікає матерія масою:

 

яка переносить із собою імпульс:

 

і по-друге, через цю грань діє момент сили від сусідньої комірки простору через внутрішні напруження речовини (тиск):

 

Сумарний потік імпульса прирівняємо до потоку відповідної компоненти тензора енергії-імпульса:

 

Таким чином, ми уже визначили всі компоненти тензора енегрії-імпульса через величини класичної механіки, просторова частина цього тензора дорівнює:

 

Із цієї привязки і локального закону збереження енергії-імпульса слідує, що "поверхневий" інтеграл в лівій частині (27) дорівнює нулю. Оскільки паралелепіпед   може бути розміщений в будь-якій точці простору-часу і може бути нескінченно малим, з рівності нулю правої частини (27) слідує, що скрізь дивергенція тензора енергії-імпульса дорівнює нулю:

 

Локальний закон збереження момента імпульсуРедагувати

Із виразу для компонент тензора енергії-імпульса ми бачимо, що цей тензор вийшов симетричним. І це не випадково. Розглянемо наступний антисиметричний тензор другого рангу в плоскому просторі Мінковського (або в настільки малій області викривленого простору, щоб кривину можна вуло не враховувати):

 

Просторові компоненти цього тензора, очевидно, дорівнюють проекціям класичного вектора моменту імпульса:

 

Покажемо, що якщо інтеграл в праві частині (39) поширити на всю "поверхню" чотиривимірного паралелепіпеда, то в результаті одержимо нуль. Дійсно, поверхневий інтеграл перетворюється в інтеграл від дивергенції:

 

а дивергенція перетворюється в нуль внаслідок (38) і симетрії тензора енергії-імпульса:

 

Рівність нулю "поверхневого" інтеграла в лівій частині (41) можна, аналогічно до того, як це було з локальним законом збереження енергії-імпульса, трактувати так: зміна моменту імпульсу в якійсь області простору можлива лише внаслідок протікання моменту імпульса через межу цієї області.

ДжерелаРедагувати

  • Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1967). Теория поля. Теоретическая физика, т.2. Москва: Госиздат. , 460 с.

ПриміткиРедагувати

  1. Формули на цій сторінці записані в системі СГС (СГСГ). Для перетворення в систему СІ дивись Правила переводу формул із системи СГС в систему СІ.