Відкрити головне меню

4-тензор — математичний об'єкт, який використовується для опису поля в релятивістській фізиці, тензор, визначений у чотиривимірному просторі-часі, повороти системи відліку в якому включають як звичні повороти тривимірного простору, так і перехід між системами відліку, які рухаються з різними швидкостями одна щодо іншої.

У загальному випадку 4-тензор є об'єктом із набором індексів:

При зміні системи відліку компоненти цього об'єкта перетворюються за законом[1]

,

де матриця повороту, — обернена їй.

Верхні індекси називаються контраваріантними, нижні — коваріантними. Сумарне число індексів задає ранг тензора. 4-вектор є 4-тензором першого рангу.

Зазвичай у фізиці тензори однакової природи з різним числом коваріантних і контраваріантних індексів вважаються спорідненими (дуальними). Опускання чи піднімання індекса здійснюється за допомогою метричного тензора , наприклад для 4-тензора другого рангу

Зміст

ПрикладиРедагувати

Рівняння теорії відносності особливо зручно записувати, використовуючи 4-вектори й 4-тензори. Головною перевагою такого запису є те, що в цій формі рівняння автоматично Лоренц-інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерційної системи координат до іншої.

Тензор електромагнітного поляРедагувати

Відповідний 4-тензор існує також і для опису електромагнітного поля. Це 4-тензор другого рангу. При його використанні основні рівняння для електромагнітного поля: рівняння Максвела й рівняння руху зарядженої частки в полі мають особливо просту й елегантну форму.

Визначення через 4-потенціалРедагувати

4-тензор визначається через похідні від 4-потенціалу[2]:

 .

Визначення через тривимірні векториРедагувати

4-тензор визначається через звичайні тривимірні складові векторів напруженості так:

 
 

Перша форма — це коваріантний тензор, друга форма — контраваріантний тензор.

Сила ЛоренцаРедагувати

Записане у 4-векторній формі рівняння руху зарядженої частки в електромагнітному полі набирає вигляду

 ,

де   — 4-швидкість, q — електричний заряд частки, c — швидкість світла, m — маса спокою. Права частина цього рівняння це сила Лоренца.

Тривимірні тензори всередині чотиривимірнихРедагувати

Заміна просторових координатРедагувати

Якщо робити обчислення компонент тензора в довільній рухомій системі координат, про яку було сказано в попередньому пункті, то важко буде порівнювати результати з експериментом, адже зручно розглядати лише інерційні системи координат, або близькі до інерційних (згідно з принципом еквівалентності гравітація еквівалентна силам інерції, тому в умовах сильного гравітаційного поля глобальної інерційної системи не існує).

У цій приблизно інерційній системі координат вісь часу сприймається окремо від простору, і ми можемо розглядати такі заміни координат (наприклад перехід від прямокутної декартової у сферичну систему координат), де час   залишається незмінним, а просторові координати однієї системи   виражаються через просторові координати іншої, і не залежать від часу:

 
 
 
 

матриці переходу між такими системами координат мають блочно-діагональний вигляд, а саме:

 
 

дійсно, із першого рівняння (4) маємо:

 
 

а з решти трьох рівнянь (4) маємо:

 

Такі ж міркування справедливі і для оберненої матриці  , якщо врахувати, що система рівнянь, обернена до (4) має точно такий самий вигляд.

Поділ компонент чотиривимірних тензорів на групиРедагувати

Розглянемо для прикладу тензор третього рангу  . Поглянемо, як змінюється його нульова компонента   при заміні просторових координат (4):

 

в цих перетвореннях ми врахували спочатку формулу (8) (при  ) чим відсіяли нульові доданки, а потім фомулу (6).

Як бачимо з формули (9), нульова компонента довільного тензора залишається незмінною при перетвореннях (4), тобто є тривимірним скаляром. Тепер звернемося до компонент тензора   з одним "просторовим" індексом  :

 

тобто ця сукупність компонент 4-тензора поводиться як тривимірний вектор. Також тривимірним вектором буде  , цей вектор може відрізнятися від щойно розглянутого, якщо 4-тензор був несиметричний по останніх двох індексах. Аналогічно маємо, що   є просторовим тензором другого рангу, а   - просторовим тензором третього рангу.

Треба зазначити, що можна виділяти тривимірні тензори як з коваріантних, так і з контраваріантних компонент 4-тензора. Результат ми одержимо різний. Чому це так, стане ясно після розгляду метрики простору-часу і деяких простих геометричних міркувань.

Просторові компоненти метричного тензораРедагувати

Розглянемо компоненти метричного тензора  . Згідно з попереднім пунктом, з цих 16-ти компонент можна виділити один тривимірний скаляр  , один тривимірний вектор   та один тривимірний симетричний тензор, який ми візьмемо зі знаком мінус:  . Тоді матриця метричного тензора простору-часу запишеться так:

 

Вияснимо фізичний зміст тривимірного тензора  . Для цього розглянемо тривимірний підпростір (в 4-вимірному просторі-часі) у фіксований момент часу  . Цей підпростір є деякою (в загальному випадку кривою) гіперповерхнею 4-вимірного простору. Квадрат відстані   між двома сусідніми точками цієї гіперповерхні ( ) є додатня величина, що дорівнює взятому зі знаком мінус просторво-часовому інтервалу:

 

Як видно з останньої формули,   є тривимірним метричним тензором.

Скаляр   очевидно задає масштаб часу (спільний для всіх систем координат, які пов'язані з цими перетвореннями (4)). Вектор   є мірою неортогональності вибраної осі часу щодо просторових координат. Це проявляється в тому, що обчислення координати швидкості світла дає різний результат в напрямку вектора   і в протилежному напрямку. А саме, розглянемо дві близькі точки простору-часу, які належать траєкторії світла. Просторово-часовий інтервал між цими точками дорівнює нулю:

 

Позначимо компоненти швидкості світла  , і поділимо (13) на  . Останній доданок (13) дасть очевидно квадрат швидкості світла (згортка вектора з метричним тензором), а другий доданок - скалярний добуток швидкості світла на вектор  . Маємо:

 

Зробивши заміну просторових координат, направимо вісь абсцис   вздовж вектора   і перейдемо до проекції на цю вісь, яка може бути додатньою або від'ємною. Для знаходження проекції   маємо квадратне рівняння:

 

звідки маємо два розвязки для руху світла в протилежних напрямках:

 

Модулі цих величин різні, якщо  .

Цікаво також поглянути на викривлений фізичний простір-час, аналогічно до того, як це робится в диференціальній геометрії, уявивши його вміщеним у гіпотетичний плоский псевдоевклідовий простір достатньо великої розмірності  . Радіус-вектор в цьому охоплюючому просторі позначимо  . Тоді фізичний простір-час задається параметрично:

 

а тривимірний простір всередині 4-вимірного одержується поклавши в (17)  . Тобто маємо такий тривимірний многовид, залежний від трьох параметрів:

 

Координатні (N-вимірні!) вектори в обох випадках даються формулами:

 

ці величини, очевидно, збігаються при просторових значеннях індекса ( ). Метричний тензор обчислюється через псевдоевклідовий скалярний добуток цих векторів:

 

Просторові компоненти 4-вектораРедагувати

Образ контраваріантного 4-вектора   в охоплюючому псевдоевклідовому просторі дорівнює:

 

Якщо в цьому векторі ми виділимо просторову частину  , то її образом буде інший вектор охоплюючого простору:

 

який очевидно є (неортогональною) проекцією вектора   на тривимірний підпростір   паралельно осі часу  .

Розглянемо тепер коваріантні компоненти   цього самого вектора  . Ці компоненти є коефіцієнтами при розкладанні вектора   по дуальному базису  :

 
 

Перший доданок у формулі (24) ортогональний до кожного з трьох векторів  , а тому відкиднувши його, ми здіснимо ортогональну проекцію вектора   на тривимірну гіперповерхню.

ДиференціюванняРедагувати

Найпростіше обчислюються тривимірні символи Крістофеля   першого роду (з усіма нижніми індексами), оскільки згідно з формулою (11) просторові компоненти   чотиривимірного метричного тензора   дорівнюють зі знаком мінус компонентам тривимірного метричного тензора  :

 

Вже для символів Крістофеля другого роду:

 

співвідношення між тривимірними і чотиривимірними величинами виявляється набагато складнішим, оскільки обернена до (11) матриця має такий доволі складний вигляд:

 

В цій формулі позначено:   - тривимірна матриця, обернена до  ;   - контраваріантні компоненти тривимірного вектора  ; і коефіцієнт

 

Також, в загальному випадку, складні вирази одержуються між тензорами кривини і лапласіанами (операторами Лапласа-Бельтрамі). Але у випадку плоского простору Мінковського ми маємо просту формулу для лапласіанів. Лапласіан чотиривимірного простору, який називається оператором Даламбера і позначається квадратиком  , дорівнює:

 

де через дельту   позначено лапласіан тривимірного простору.

ПриміткиРедагувати

  1. Тут, як заведено в теорії відносності, знак суми опускається — повторення індекса внизу і вгорі означає підсумовування
  2. Формули на цій сторінці записані у системі одиниць СГСГ.