Відкрити головне меню

В теорії ймовірностей і статистиці випадкова величина має дискретний рівномірний розподіл, якщо вона приймає скінченне число значень з однаковими ймовірностями.

Дискретний рівномірний розподіл

Масова функція розподілу імовірностей для рівномірного розподілу із параметром n = 5
n = 5 де n = b − a + 1
Функція розподілу ймовірностей
Кумулятивна функція дискретного рівномірного розподілу для n = 5
Параметри

Носій функції
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана
Мода N/A
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція

Якщо випадкова величина може приймати будь-яке з n значень k1,k2,…,kn, тоді це є дискретним рівномірним розподілом. Ймовірність випадання kj дорівнює 1/n. Простим прикладом дискретного рівномірного розподілу є випадання гральної кості. k набуває значень 1, 2, 3, 4, 5, 6 і кожен раз випадає з імовірністю 1/6. У випадку, коли випадкова величина є дійсним числом, то функцію розподілу можна виразити у термінах виродженого розподілу таким чином:

Визначення максимумуРедагувати

Вибірка із k спостережень отримана із рівномірного розподілу цілих чисел  , для якої існує задача оцінити невідомий максимум N. Цю задачу іноді називають задачею про німецький танк[en], після того як цей метод оцінки максимуму було застосовано для оцінки темпів виробництва німецьких танків під час Другої світової війни.

Незміщена оцінка з мінімальною дисперсією для рівномірного розподілу, яка визначає максимум задається наступним чином

 

де m є вибірковим максимумом, а k - розмір вибірки, для вибірки без повторного заміщення.[1] Цей приклад можна розглядати як спрощений випадок оцінки максимального інтервалу[en].

При цьому матимемо дисперсію[1]

 

тож стандартне відхилення приблизно становить  , середній розмір (для сукупності) проміжку між елементами; порівняємо із вищевказаним  .

Максимум вибірки є оцінкою максимальної правдоподібності для максимуму сукупності, але, як зазначалося вище, він є зміщеним.

Якщо вибірка не представлена числами, але її можна промаркувати або розрізнити, розмір популяції можливо визначити методом "Зловити/повторити".

ВиведенняРедагувати

Для будь-якого цілого числа m такого що k ≤ m ≤ N, імовірність того, що вибірковий максимум буде дорівнювати m можна розрахувати наступним чином. Кількість різних груп із k танків, які можуть бути утворені із загальної кількості з N танків визначається через біноміальний коефіцієнт  . Оскільки при такому способі підрахунку, перестановки танків розраховуються лише раз, ми можемо впорядкувати серійні номери і відмітити максимальний з них в кожній вибірці. Аби розрахувати імовірність ми повинні полічити кількість впорядкованих вибірок, які можуть містити останній елемент, який буде дорівнювати m а всі інші k-1 танків мають номери менші або такий що дорівнює m-1. Кількість таких вибірок з k-1 танків які можна отримати із загальної кількості m-1 танків задається біноміальним коефіцієнтом  , тож імовірність отримати максимум m становить  .

Дано загальну кількість  N і розмір вибірки k, математичне сподівання максимуму вибірки визначається як:

 

де було використано рівняння із трикутником Паскаля[en]  .

Із цього рівняння, невідому кількість N можна розрахувати через сподівання і розмір вибірки, наступним чином

 

Відповідно до лінійності математичного сподівання, отримаємо

 

і таким чином незміщена оцінка для N отримується за допомогою заміни сподівання на спостереження,

 

Крім того, що ця оцінка є незміщеною вона також досягає мінімальної дисперсії. Аби показати це, відмітимо спершу, що максимум вибірки є достатньою статистикою для визначення максимуму сукупності, оскільки імовірність P(m;N) задається як функція лише від однієї m. Далі необхідно довести, що статистика m також є повною статистикою[en], особливим видом достатньої статистики (demonstration pending). Тоді Теорема Лемана-Шеффе[en] передбачає, що   є незміщеною оцінкою для N із найменшою дисперсією.[2]

Дисперсія оцінки розраховується як дисперсія вибіркового максимуму

 

Дисперсія максимуму в свою чергу розраховується із математичних сподівань   і  . Розрахунок математичного сподівання для   є наступним,

 

де другий терм є математичним сподіванням для  . Перший терм можна виразити через k і N,

 

де була використана заміна   і використане рівняння із трикутником Паскаля[en]. Підставлення цього результату і математичного сподівання   в рівняння для   дає

 

Тоді можна отримати дисперсію для  ,

 

Зрештою можна розрахувати дисперсію для оцінки  ,

 


  1. а б Johnson, Roger (1994). Estimating the Size of a Population. Teaching Statistics 16 (2 (Summer)). doi:10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x. Архів оригіналу за 26 травень 2009. Процитовано 18 березень 2019. 
  2. G. A. Young and R. L Smith (2005) Essentials of Statistical Inference, Cambridge University Press, Cambridge, UK, p. 95