Мі́нус оди́н, −1 — це ціле число, більше, ніж (−2), і менше, ніж 0. Число −1 — протилежне число для 1, тобто, при додаванні цього числа до 1 в результаті утворюється 0. Найбільше від'ємне ціле число.

← −2 −1 0 →
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Кількісний числівник мінус один
Порядковий числівник -1
(мінус перший)

Алгебричні властивостіРедагувати

Мінус одиниця має ряд властивостей, схожих із властивостями числа 1.

 

Це можна довести, скориставшись розподільним законом і аксіомою, що 1 є нейтральним елементом:

x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0.

Тут ми використали той факт, що будь-яке число x помножене на 0 дорівнює 0, що отримується скороченням з рівняння

0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x.

Іншими словами,

x + (−1) ⋅ x = 0,

отже (−1) ⋅ x є адитивно оберненим до x, тобто (−1) ⋅ x = −x, що й потрібно було довести.

Квадрат −1Редагувати

Квадрат −1, тобто −1, помножене на −1, дорівнює 1. Як наслідок, добуток двох від'ємних чисел є додатним.

Алгебричне доведення цього результату почнемо з рівняння

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)].

Перша рівність випливає з наведеного вище результату, а друга — з визначення −1 як адитивно оберненої до 1: саме це число, додане до 1, дає 0. Тепер, використовуючи розподільний закон, маємо

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1).

Третя рівність випливає з того факту, що 1 є нейтральним елементом. Але тепер додавання 1 до обох частин цього останнього рівняння означає

(−1) ⋅ (−1) = 1.

Наведені вище аргументи справедливі в будь-якому кільці, концепції абстрактної алгебри, що узагальнює цілі та дійсні числа.

Квадратні корені з −1Редагувати

Хоча не існує дійсних квадратних коренів з −1, комплексне число i задовольняє i2 = −1, і тому його можна розглядати як квадратний корінь з −1[1][2]. Єдине інше комплексне число, квадрат якого дорівнює −1, — це −i оскільки існує рівно два квадратних корені з будь-якого ненульового комплексного числа, що випливає з основної теореми алгебри. В алгебрі кватерніонів — де основна теорема не застосовується — які містять комплексні числа, рівняння x2 = −1 має нескінченно багато розв'язків.

Піднесення до цілого від'ємного степеняРедагувати

Піднесення до степеня ненульового дійсного числа можна розширити до цілих від'ємних чисел. Приймемо, що x−1 = 1x, тобто, ототожнимо піднесення до степеня −1 зі знаходженням оберненого числа. Тоді це визначення можна поширити на цілі від'ємні числа, зберігши правило піднесення до степеня xaxb = x(a + b) для дійсних   і  .

Піднесення до від'ємного цілого степеня можна поширити на обернені елементи кільця, визначивши x−1 як мультиплікативне обернене до x.

Показник −1 біля назви функції, не означає, що слід взяти (поточково) обернені значення цієї функції, а є позначенням оберненої функції. Наприклад, sin−1(x) є позначенням функції арксинуса, а загалом f −1(x) позначає функцію, обернену до f(x).

ВикористанняРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Imaginary Numbers. Math is Fun. Архів оригіналу за 4 січня 2021. Процитовано 15 лютого 2021. 
  2. Weisstein, Eric W. Imaginary Number. MathWorld. Архів оригіналу за 20 квітня 2021. Процитовано 15 лютого 2021.