Функція sinc
спеціальна математична функція
Sinc-функція, що позначається , (від лат. sinus cardinalis — кардинальний синус) має два визначення, відповідно для нормованої sinc-функції і ненормованої sinc-функції:
- У цифровій обробці сигналів і теорії зв'язку нормована sinc-функція звичайно визначається як
- У математиці ненормована sinc-функція визначається як
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Sinc_function_%28both%29.svg/350px-Sinc_function_%28both%29.svg.png)
У обох випадках значення функції в особливій точці явним чином задається рівним одиниці. Таким чином, sinc-функція аналітична для будь-якого значення аргументу.
Властивості
ред.- Для ненормованої sinc-функції :
- і для і (цілі числа); тобто, це інтерполююча функція
- Для ненормованої функції
- і для і (цілі числа);
- функції формують ортонормований базис для функцій в функціональному просторі , з найбільшою кутовою частотою .
- Локальні максимум і мінімум ненормованої sinc-функції збігаються із значеннями косинуса, тобто там, де похідна рівна нулю (локальний екстремум в точці ), виконується умова .
- Ненормована sinc-функція є сферичною функцією Бесселя першого роду нульового порядку . Нормована sinc-функція - .
- де Si(x) — інтегральний синус.
- λ sinc(λ x) (для ненормалізованого випадку) є одним із двох лінійно незалежних розв'язків диференціального рівняння:
- Іншим є cos(λ x)/x.
- .
- Перетворення Фур'є нормованої sinc-функції (для одиничного інтервалу частот) рівне прямокутній функції .
- ,
- де прямокутна функція — функція, що приймає значення, рівні 1 для будь-якого аргументу з інтервалу між `1/2 і 1/2, і рівна нулю при будь-якому іншому значенні аргументу.
- Розклад нормованої Sinc-функції у нескінченний добуток:
- Розклад ненормованої Sinc-функції у нескінченний добуток
- Вираз через гамма-функцію:
- де — гамма-функція
Посилання
ред.- Weisstein, Eric W. Sinc Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.