Функція sinc

Sinc-функція, що позначається $\mathrm {sinc} (x)\,$, (від лат. sinus cardinalis — кардинальний синус) має два визначення, відповідно для нормованої sinc-функції і ненормованої sinc-функції:

1. У цифровій обробці сигналів і теорії зв'язку нормована sinc-функція звичайно визначається як

   $\mathrm {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.$

2. У математиці ненормована sinc-функція визначається як

   $\mathrm {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(x\right)}{x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.$

Графіки нормованої sinc-функції (синій) та ненормованої sinc-функції (червоний) на відрізку значень x від −6π до 6π.

У обох випадках значення функції в особливій точці $x=0$ явним чином задається рівним одиниці. Таким чином, sinc-функція аналітична для будь-якого значення аргументу.

Властивості

• Для ненормованої sinc-функції :

$\mathrm {sinc} (0)=1\,$ і $\mathrm {sinc} (k)=0\,$ для $k\neq 0\,$ і $k\in \mathbb {Z} ,$ (цілі числа); тобто, це інтерполююча функція

Для ненормованої функції

$\mathrm {sinc} (0)=1\,$ і $\mathrm {sinc} (k\pi )=0\,$ для $k\neq 0\,$ і $k\in \mathbb {Z} ,$ (цілі числа);

• функції $x_{k}(t)=\mathrm {sinc} (t-k)\$ формують ортонормований базис для функцій в функціональному просторі $L^{2}(\mathbb {R} )$, з найбільшою кутовою частотою $\omega _{\mathrm {H} }=\pi \,$.

• Локальні максимум і мінімум ненормованої sinc-функції ${\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,$ збігаються із значеннями косинуса, тобто там, де похідна ${\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,$ рівна нулю (локальний екстремум в точці $x=a\,$), виконується умова ${\begin{matrix}{\frac {\sin(a)}{a}}\end{matrix}}=\cos(a)\,$.

• Ненормована sinc-функція є сферичною функцією Бесселя першого роду нульового порядку $j_{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,$. Нормована sinc-функція - $j_{0}(\pi x)\,$.

• $\int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\mathrm {Si} (x)\,\!$

де Si(x) — інтегральний синус.

• λ sinc(λ x) (для ненормалізованого випадку) є одним із двох лінійно незалежних розв'язків диференціального рівняння:

$x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.\,\!$

Іншим є cos(λ x)/x.

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \,$.

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}\,\!$

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}\,\!$

• Перетворення Фур'є нормованої sinc-функції $\mathrm {sinc} (x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,$ (для одиничного інтервалу частот) рівне прямокутній функції $\mathrm {rect} (f)\,$.

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)$,

де прямокутна функція — функція, що приймає значення, рівні 1 для будь-якого аргументу з інтервалу між `1/2 і 1/2, і рівна нулю при будь-якому іншому значенні аргументу.

• Розклад нормованої Sinc-функції у нескінченний добуток:

$\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)$

• Розклад ненормованої Sinc-функції у нескінченний добуток

${\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).$

• Вираз через гамма-функцію:

$\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}$

де $\Gamma (x)$ — гамма-функція

Посилання

• Weisstein, Eric W. Sinc Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.