Для абелевих фактор-категорій, що породжуються підкатегорією Сере[en], див. Абелева фактор-категорія[en].

У математиці фактор-категорія — це категорія, що отримується із іншої категорії шляхом ототожнювання множин морфізмів. Формально кажучи, це фактор-об'єкт в категорії малих категорій[en], аналогічно до фактор-групи або фактор-простору, але в сенсі категорій.

Означення

ред.

Нехай   — категорія.   відношення конґруентності на категорії  , що визначається наступним чином: для кожної пари об'єктів   існує відношення еквівалентності   — відношення еквівалентності відносно композиції морфізмів. Тобто, якщо

 

еквівалентні на   і

 

еквівалентні на  , тоді   і   еквівалентні на  .

Для заданого відношення конґруентності   на категорії   можна визначити фактор-категорію   як категорію, об'єкти якої з категорії  , і морфізми якої — класи еквівалентності морфізмів категорії  . Тобто

 

Композиція морфізмів на   є однозначно визначеною[en], оскільки   є відношенням конґруентності.

Властивості

ред.

Існує природній фактор-функторкатегорії   в фактор-категорію  , який переводить кожен морфізм у його клас еквівалентності. Цей функтор є бієктивним на об'єктах і сюр'єктивним на  -множинах (тобто є повним функтором).

Кожний функтор   визначає конґруенцію на категорії  , тобто   тоді й лише тоді, коли  . Тоді функтор   факторизується єдиним чином завдяки фактор-функтору  . Це можна розглядати як першу теорему про ізоморфізм для категорій.

Приклади

ред.

Суміжні поняття

ред.

Адитивні фактор-категорії за ідеалами

ред.

Якщо   адитивна категорія[en] і відношення конґруентності   над   є адитивним (тобто, якщо  ,   і   є морфізмами із   в  , причому   і  , тоді  )), тоді фактор-категорія   також буде адитивною, і фактор-функтор   також буде адитивним функтором.

Концепція адитивного відношення конґруентності є еквівалентною концепції двостороннього ідеалу морфізмів: для будь-яких об'єктів   і   задана адитивна підгрупа   з   така, що для усіх  ,   і   отримуємо   і  . Два морфізми із   є конґруентими тоді й лише тоді, коли їх різниця належить  .

Будь-яке унітальне кільце може бути розглянуте як адитивна категорія з одного об'єкту і адитивна фактор-категорія, визначена вище, у цьому випадку збігається з поняттям фактор-кільця за двостороннім ідеалом.

Локалізація категорії

ред.

Локалізація категорії[en] породжує нові морфізми, щоб перетворити деякі мофірзми із вихідної категорії на ізоморфізми. Як правило, це приводить до збільшення кількості морфізмів між об'єктами, а не зменшує їх, як у випадку фактор-категорій. Але в обох конструкціях часто трапляється, що ізоморфними стають два об'єкта, які не були ізоморфізмами в вихідній категорії.

Абелеві фактор-категорії Сере

ред.

Абелева фактор-категорія Сере[en], що породжується підкатегорією Сере[en], — це нова абелева категорія, яка подібна до фактор-категорії, але також в багатьох випадках має характер локалізації категорії.

Література

ред.
  • Mac Lane, Saunders (1998, Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5 (second ed.), Springer-Verlag.