Точковмісна топологія

Нехай X — непорожня множина і $\tau =\{\varnothing ,A\subset X\mid p\in A\}$, де $p\in X$ — фіксована точка. Тоді τ є топологією на X, яка називається точковмісною.

Властивості

• Кожна точка простору Х, відмінна від p, є граничною точкою множини {p}.
• Замикання довільної відкритої непорожньої множини дорівнює Х.
• Внутрішність довільної замкненої непорожньої множини, відмінної від Х, є порожньою.
• Підпростір Х\{p} простору Х є дискретним.
• X є $T_{0}$-простором. Якщо $|X|\geqslant 3$, то X не є $T_{i}$-простором, i=1,2,3,4,5. Коли $|X|=2$, X є $T_{4}$ і $T_{5}$-простором, але не є $T_{1}$, $T_{2}$ і $T_{3}$-простором. Якщо $|X|=1$, то X є $T_{i}$-простором, i=1,2,3,4,5.
• Х компактний (ліндельофів) тоді й лише тоді, коли X скінченний (не більш ніж зліченний).
• X є сепарабальним простором. Але коли Х є незліченним, підпростір Х\{p} не є сепарабельним.
• Х задовольняє першу аксіому зліченності. Х задовольняє другу аксіому зліченності тоді і тільки тоді, коли Х є не більш ніж зліченним.
• Дві різні точковмісні топології на Х гомеоморфні, але не порівнювані.
• Х є розсіяним простором.
• Х є гіперзв'язним просторм.
• Якщо $|X|\geqslant 3$, то Х не ультразв'язний.
• Х не є слабко зліченно компактним.
• Х є псевдокомпактним.
• Х є лінійно зв'язним і локально лінійно зв'язним, але не дугово зв'язний.
• Х є локально компактним топологічним простором. Х є сильно локально компактний тоді і тільки тоді, коли Х є скінченним.
• Х є простором другої категорії.

Література

1. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446