Торичний вузол

Торичний вузол — особливий вид вузлів, що лежать на поверхні незавузленого тора в $\mathbb {R} ^{3}$.

(3,7)-торичний вузол.

Приз eureleA у вигляді (2,3)-торичного вузла.

(2,8)-торичне зачеплення

Торичне зачеплення — зачеплення, що лежить на поверхні тора.

Кожен торичний вузол визначається парою взаємно простих цілих чисел $p$ і $q$. Торичне зачеплення виникає, коли $p$ і $q$ не взаємно прості (в цьому випадку число компонент дорівнює найбільшому спільному дільнику $p$ і $q$). Торичний вузол є тривіальним тоді і тільки тоді, коли або $p$, або $q$ дорівнює 1 або -1. Найпростішим нетривіальним прикладом є (2,3)-торичний вузол, відомий також як трилисник.

(2, -3)-торичний вузол, відомий також як лівий трилисник

Геометричне подання

Торичний вузол можна подати геометрично різними способами, топологічно еквівалентними, але геометрично різними.

Зазвичай використовується домовленість, що $(p,q)$-торичний вузол обертається $q$ разів навколо кругової осі тора і $p$ разів навколо осі обертання тора. Якщо $p$ і $q$ не взаємно прості, то виходить торичне зачеплення, що має більше однієї компоненти. Домовленості про напрямок обертання ниток навколо тора також різні, найчастіше припускається правий гвинт для $pq>0$.

$(p,q)$-торичний вузол можна задати параметризацією:

$x=r$$\cos(p\phi )$,

$y=r$$\sin(p\phi )$,

$z=-\sin(q\phi )$,

де $r=\cos(q\phi )+2$ і $0<\phi <2\pi$. Він лежить на поверхні тора, що задається формулою $(r-2)^{2}+z^{2}=1$ (в циліндричних координатах).

Можливі й інші параметризації, оскільки вузли визначені з точністю до неперервної деформації. Приклади для (2,3)- і (3,8)-торичних вузлів можна отримати, прийнявши $r=\cos(q\phi )+4$, а в разі (2,3)-торичного вузла — шляхом віднімання $3\cos((p-q)\phi )$ і $3\sin((p-q)\phi )$ з наведених вище параметризацій $x$ і $y$ .

Властивості

Діаграма (3, -8)-торичного вузла.

Торичний вузол є тривіальним тоді і тільки тоді, коли або $p$, або $q$ дорівнює 1 або -1 .

Кожен нетривіальний торичний вузол є простим і хіральним.

$(p,q)$-торичний вузол еквівалентний $(q,p)$-торичному вузлу. $(p,-q)$-торичний вузол є оберненим (дзеркальним відображенням) $(p,q)$-торичного вузла. $(-p,-q)$-торичний вузол еквівалентний $(p,q)$-торичному вузлу, за винятком орієнтації.

(3, 4)-торичний вузол на розвороті поверхні тора і слово коси

Будь-який $(p,q)$-торичний вузол можна побудувати з замкнутої коси з $p$ нитками. Відповідне слово коси:

$(\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}$ .

Ця формула використовує домовленість, що генератори коси використовують праві обертання.

Число перетинів $(p,q)$-торичного вузла з $p,q>0$ задається формулою:

$c=\min((p-1)q,(q-1)p)$ .

Рід торичного вузла з $p,q>0$ дорівнює:

$g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).$

Многочлен Александера торичного вузла дорівнює:

${\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}}$ .

Многочлен Джонса (правогвинтовий) торичного вузла задається формулою:

$t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}$ .

Доповнення торичного вузла на 3-сфері — це многовид Зейферта.

Нехай $Y$ — $p$-мірний блазенський ковпак з диском, видаленим всередині, $Z$ — $q$-вимірний блазенський ковпак з диском, видаленим всередині, і $X$ — фактор-простір, отриманий ототожненням $Y$ і $Z$ вздовж межі кола. Доповнення $(p,q)$-торичного вузла є деформаційним ретрактом простору $X$. Таким чином, група вузла торичного вузла має подання:

$\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle$ .

Торичні вузли — це єдині вузли, чиї групи вузла мають нетривіальні центри (які є нескінченними циклічними групами, утвореними елементом $x^{p}=y^{q}$ з цього подання).

Перелік

• Тривіальний вузол, 3₁-вузол (2,3), вузол «Перстач» (5,2), вузол 7₁ (7,2), вузол 8₁₉ (4,3), вузол 9₁ (9,2), вузол 10₁₂₄ (5,3).

Див. також

• Альтернований вузол
• Перстач (вузол)

Література

• Charles Livingston. Knot theory. — Mathematical Association of America, 1993. — ISBN 0-88385-027-3.(англ.)
• Kunio Murasugi. Knot theory and its applications. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-3817-2.(англ.)
• Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-5124-1.(англ.)
• W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — Springer, 1997. — ISBN 0-387-98254-X.(англ.)
• J. S. Birman, T. E. Brendle. Handbook of knot theory / W. Menasco, M. Thistlethwaite. — Elsevier, 2005. — ISBN 0-444-51452-X..(англ.)
• J. Milnor. Singular Points of Complex Hypersurfaces. — Princeton University Press, 1968. — ISBN 0-691-08065-8.(англ.)

Посилання

• Про поліноми Чебишова і торичні вузли
• 36 Torus Knots, The Knot Atlas.
• Weisstein, Eric W. Torus Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Torus knot renderer in Actionscript
• Fun with the PQ-Torus Knot