Теорія кіс

Теорія кіс — розділ топології та алгебри, вивчає коси і групи кіс, складені з їхніх класів еквівалентності.

Визначення коси

Коса з $n$ ниток — об'єкт, що складається з двох паралельних площин $P_{0}$ і $P_{1}$ у тривимірному просторі $\mathbb {R} ^{3}$ , які містять упорядковані множини точок $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in P_{0}$ і $b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in P_{1}$ і з $n$ роз'єднаних між собою простих дуг $l_{1},l_{2},\dots ,l_{n}$ , які перетинають кожну паралельну площину $P_{t}$ між $P_{0}$ і $P_{1}$ одноразово і з'єднують точки $\{a_{i}\}$ з точками $\{b_{i}\}$ .

Зазвичай вважається, що точки $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ лежать на прямій $l_{0}$ в $P_{0}$ , а точки $b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}$ на прямій $l_{1}$ в $P_{1}$ , паралельній $l_{0}$ , причому $a_{i}$ розташовані під $b_{i}$ для кожного $i$ .

Коси зображуються в проєкції на площину, що проходить через $l_{0}$ і $l_{1}$ ця проєкція може бути зведена в загальне положення так, що є лише скінченне число подвійних точок, попарно розташованих на різних рівнях, і перетини трансверсальні.

Група кіс

Докладніше: Група кіс

У множині всіх кіс з n нитками і з фіксованими $P_{0},P_{1},\{a_{i}\},\{b_{i}\}$ вводиться відношення еквівалентності. Воно визначається гомеоморфізмами $h:\Pi \to \Pi$ , де $\Pi$ — область між $P_{0}$ і $P_{1}$ , тотожними на $P_{0}\cup P_{1}$ . Коси $\alpha$ і $\beta$ еквівалентні, якщо існує такий гомеоморфізм $h$ , що $h(\alpha )=\beta$ .

Класи еквівалентності, далі також звані косами, утворюють групу кіс $B(n)$ . Одинична коса — клас еквівалентності, який містить косу з n паралельних відрізків. Коса $\alpha ^{-1}$ зворотна до коси $\alpha$ , визначається відображенням у площині $P_{1/2}$

Нитка коси з'єднує $a_{i}$ з $b_{j_{i}}$ і визначає підстановку, елемент симетричної групи $S_{n}$ . Якщо ця підстановка тотожна, то коса називається фарбованою (або чистою) косою. Це відображення задає епіморфізм $B(n)$ на групу $S_{n}$ перестановок n елементів, ядром якого є підгрупа $K(n)$ , яка відповідає всім чистим косам, так що є коротка точна послідовність

0\to K(n)\to B(n)\to S_{n}\to 0

Сплетення

Нехай ${\mathcal {C}}$ - тензорна категорія. Сплетенням у ${\mathcal {C}}$ є структура комутування на ${\mathcal {C}}$ , яка задовольняє двом співвідношенням:

$a_{U\otimes V,W}=(a_{U,W}\otimes 1_{V})(1_{V}\otimes a_{V,W}),$

$a_{U,V\otimes W}=(1_{V}\otimes a_{U,W})(a_{U,V}\otimes 1_{W})$

для усіх об'єктів $U,V,W.$

Якщо $c$ - сплетення у ${\mathcal {C}}$ , то й $c^{-1}$ є сплетенням у ${\mathcal {C}}$ .

Косовою моноїдальною категорією є моноїдальна категорія, оснащена сплетенням.

Нехай $V$ - векторний простір над $k.$ Рівняння Янга-Бакстера - рівняння для лінійного автоморфізму з простору $V\otimes V:$

$(a\otimes 1_{V})(1_{V}\otimes a)(a\otimes 1_{V})=(1_{V}\otimes a)(a\otimes 1_{V})(1_{V}\otimes a).$

Це рівняння є рівністю елементів групи автоморфізмів $V\otimes V\otimes V.$ Його розв'язок називається $R$ -матрицею.

Для векторного простору $V$ через $\tau _{V,V}\in \mathrm {Aut} (V\otimes V)$ позначимо оператор перестановки співмножників, який представляє дві копії цього простору. Він визначається співвідношенням

$\tau _{V,V}(v_{1}\otimes v_{2})=v_{2}\otimes v_{1}\quad \forall v_{1},v_{2}\in V.$

Оператор перестановки задовольняє рівнянню Янга-Бакстера, оскільки в симетричній групі виконується співвідношення Кокстера^[1]

$R^{12}R^{23}R^{12}=R^{23}R^{12}R^{23},$

де верхні індекси $ij$ визначають транспозицію, яка міняє $i$ та $j.$

Нехай $A=A_{0}\oplus A_{1}$ - асоціативна алгебра із одиницею (над деяким алгебрично замкненим полем нульової характеристики $\mathbb {k}$ ), на якій визначена операція кодобутку $\Delta ,$ задані антипод $S$ та косий антипод $S'$ (тобто антипод для протилежного кодобутку $\Delta ^{op}$ ), а також одиниця $e,$ $S^{-1}=S'.$ $(A,R)$ є квазітрикутною супералгеброю Хопфа, якщо $R$ задовольняє квантовому рівнянню Янга-Бакстера: