Доповнення вузла

У математиці доповненням ручного вузла K є простір, де вузол відсутній. Якщо вузол вбудований у 3-сферу, то доповненням є 3-сфера без простору біля вузла. Для уточнення, припустимо, що K — вузол у 3-многовиді M (найчастіше M — 3-сфера). Нехай N — трубчастий окіл K; отже, N — повний тор. Тоді доповнення вузла є доповненням N ,

Доповнення вузла тривіального вузла гомеоморфне повному тору. Зауважте, що хоча сам вузол може бути поданий у вигляді тора, отвір у тривіальному вузлі відповідає суцільній області доповнення, тоді як сам вузол є отвором у доповненні. Це пов'язано з тривіальним розбиттям Хегора 3-сфери на два повних тори.

$X_{K}=M-{\mbox{interior}}(N).$

Вузол, що доповнює X_K, — це компактний 3-многовид; межа X_K та межа околу N гомеоморфні 2-тору. Іноді під навколишнім многовидом М розуміють 3-сферу. Для визначення використання потрібен контекст. Існують аналогічні визначення доповнення зачеплення.

Багато інваріантів вузлів, такі як група вузла, насправді є інваріантами доповнення вузла. Коли навколишній простір є 3-сферою, інформація не втрачається: теорема Гордона – Люке стверджує, що вузол визначається його доповненням. Тобто, якщо K і K′ — два вузли з гомеоморфними доповненнями, то існує гомеоморфізм 3-сфери, що переводить один вузол в інший.

Див. також

• Рід вузла
• Поверхня Зейферта

Література

• C. Gordon and J. Luecke, «Knots are determined by their Complements», J. Amer. Math. Soc., 2 (1989), 371—415.