Зачеплення (теорія вузлів)
Вкладення (частіше — його образ) незв'язної суми примірників кола в або називається зачепленням кратності .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Borromean_Rings_Illusion.png/220px-Borromean_Rings_Illusion.png)
Позначення= L6a4
Число ниток = 3
Довжина коси= 6
Число перетинів= 6
Гіперболічний об'єм= 7.327724753
Клас= гіперболічний
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Hopf_band_wikipedia.png/220px-Hopf_band_wikipedia.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Triquetra-circle-interlaced.svg/220px-Triquetra-circle-interlaced.svg.png)
Зачеплення кратності називається вузлом.
Вузли, складові даного зачеплення, називаються його компонентами.
Охоплювально-ізотопічні[ru] класи зачеплень називаються типами зачеплень. Зачеплення одного типу називаються еквівалентними.
Зачеплення, що складається з деяких компонент зачеплення , називається його частковим зачепленням.
Кажуть, що зачеплення розпадається (або розщеплюється), якщо два його часткових зачеплення розділені в двовимірною сферою.
Деякі типи зачеплень
ред.- Зачеплення «», що лежить у площині в , називається тривіальним.
- Зачеплення називається брунновим, якщо розпадається кожне його часткове зачеплення, крім нього самого.
- Найбільш вивчені кусково-лінійні зачеплення. Розгляд гладких або локально плоских топологічних вкладень в приводить до теорії, що збігається з кусково-лінійною.
- Крім площини всяке зачеплення можна розташувати на стандартно вкладеній в замкненій поверхні. Наприклад, зачеплення можна розташувати на незавузленому торі або кренделі, тоді таке зачеплення буде називатися відповідно торичним, або крендельним.
- Зачеплення, що лежить на межі трубчастого околу вузла називається обмоткою вузла . Зачеплення, яке можна отримати багаторазовим взяттям обмоток, починаючи з тривіального вузла, називається трубчастим, або складним кабельтовим.
Задання зачеплень
ред.Зазвичай зачеплення задаються за допомогою так званих діаграм вузлів і зачеплень. Цей метод тісно пов'язаний з поняттям кіс. Якщо у косі з ниток з'єднати вгорі і внизу по пар сусідніх кінців відрізками, то вийде зачеплення, зване -сплетінням.
Інший спосіб конструювання зачеплень з кіс полягає в замиканні кіс. Якщо між двома паралельними площинами і в взяти ортогональних їм відрізків і з'єднати їхні кінці попарно дугами в і дугами в без перетинів, то сума всіх дуг і відрізків дасть зачеплення. Зачеплення, що допускає таке подання називається зачепленням з мостами.
Приклади зачеплень
ред.Позначення= L2a1
Число ниток = 2
Довжина коси= 2
Число перетинів= 2
Коефіцієнт зачеплення= 1
Гіперболічний об'єм= 0
Клас= тор
- Зачеплення Гопфа — найпростіше нетривіальне зачеплення з двома і більше компонентами [1], складається з двох кіл, зачеплених одноразово[2] і назване на честь Гайнца Гопфа[en][3].
Число ниток = 4
Довжина коси= 8
Число перетинів= 4
Число розплутування =2
ab-нотація =421
Гіперболічний об'єм= 0
альтернуючий
- Вузол Соломона, два кільця з подвійним зачепленням
- Кільця Борромео[4] — це зачеплення, що складається з трьох топологічних кіл, які зчеплені і утворюють бруннове зачеплення (тобто видалення будь-якого кільця призведе до роз'єднання двох кілець). Іншими словами, ніякі два з трьох кілець не зчеплені як в зачепленні Гопфа, проте, всі разом вони зчеплені.
Примітки
ред.- ↑ Adams, 2004.
- ↑ Kusner, Sullivan, 1998.
- ↑ Прасолов, Сосинский, 1997.
- ↑ Назва виникла з герба роду Борромео, на якому присутні ці кільця.
Література
ред.- Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — DOI:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
- P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
- C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
- Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец : Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0..
- Мантуров В. О. Теория узлов. — М. : РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3..
- Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М. : Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8..
- Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М. : Мир, 1971. — 127 с.
- Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М. : Мир, 1981. — 286 с.
- Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
- Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика [Архівовано 29 липня 2019 у Wayback Machine.] // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
- Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М. : МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
- Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М. : МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6..
- Статьи «Теория узлов в конце XX века» [Архівовано 9 червня 2019 у Wayback Machine.] // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
- Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.
- H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.* Kusner R. B., Sullivan J. M. Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York : Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — DOI:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
- Kusner R. B., Sullivan J. M. Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York : Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — DOI:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
- Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вип. 7. — DOI: .
- Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry [Архівовано 29 липня 2019 у Wayback Machine.].(англ.)
- Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots.(англ.)
- Birman J.S. Braids, knots and contact structures.(англ.)
- Weisstein, Eric W. Knot Theory(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.