Коефіцієнт зачеплення

Коефіцієнт зачеплення — ціле або дробове число, що зіставляється двом циклам $z^{k-1}$ і $z^{n-k}$, які не перетинаються, в орієнтованому многовиді $M$ розмірності $n$, класи гомологій яких належать підгрупам кручення в цілочисельних гомологіях $H_{k-1}(M,\mathbb {Z} )$ і $H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )$ відповідно.

Найпростішим прикладом є коефіцієнт зачеплення двох замкнутих кривих $L_{1},\ L_{2}$, що не перетинаються, простору $\mathbb {R} ^{3}$: він дорівнює степеню відображення $\phi \colon L_{1}\times L_{2}\to S^{2}$ визначається як

$\phi (x,y)=(y-x)/|y-x|,\ x\in L_{1},\ y\in L_{2}$.

Коефіцієнт зачеплення не змінюється під час неперервних деформацій кривих, якщо протягом цієї деформації криві не перетинаються, тобто є інваріантом цього зачеплення. Якщо натягнути на одну криву орієнтовану поверхню, то індекс перетину буде дорівнювати кількості точок перетину першої кривої з цією поверхнею взятих з відповідними знаками.

Аналогічно визначається коефіцієнт зачеплення в разі замкнених орієнтованих многовидів $M^{k-1}$ та $M^{n-k}$, розташованих у просторі $\mathbb {R} ^{n}$.

В загальному випадку коефіцієнт зачеплення визначається через індекс перетину наступним чином: Якщо $C^{k}$ є $k$-вимірний ланцюг для якого $\partial C^{k}=az^{k-1}$і $b$ є індекс перетину $C^{k}$ з $z^{n-k}$, то індекс зачеплення дорівнює $b/a$. Це число не залежить від вибору плівки $C^{k}$.

Популярне визначення

Коефіцієнт зачеплення двох орієнтованих контурів x і y, які не перетинаються один з одним, визначається як сума коефіцієнтів зачеплення по всіх подвійних точках проєкції контура $y$ на контур $x$ і на деяку площину. Для кожної подвійної точки коефіцієнт зачеплення дорівнює $1$, якщо під час руху в напрямку контура $x$ контур $y$ перетинає його зліва направо і $-1$, якщо контур $y$ перетинає його справа наліво. Якщо перетинаються дві ділянки одного й того ж контура або контур x проходить вище контура y, подвійній точці приписується коефіцієнт зачеплення $0$.

Властивості

• Якщо поміняти ролями цикли $z^{k-1}$ і $z^{n-k}$, то коефіцієнт зачеплення помножиться на $(-1)^{k(n-k)}$.
• Якщо замінити будь-який з циклів гомологічним йому в додатку до іншого, то коефіцієнт зачеплення не зміниться. Цей факт є основою при інтерпретації дуальності Александера за допомогою зачеплень.
• Якщо замінити один із циклів будь-яким гомологічним з ним, коефіцієнт зачеплення зміниться на ціле число, завдяки чому визначено парування підгруп кручення в $H_{k-1}(M,Z)$ і $H_{n-k}(M,Z)$ зі значеннями у факторгрупі $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$. Це парування встановлює між ними дуальність Понтрягіна.
  • Зокрема, для підгрупи кручення в $H_{m}(M,\mathbb {Z} )$ у випадку $n=2m+l$ цим задається білінійна форма самозачеплень зі значеннями $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ яка є гомотопічним інваріантом многовиду.

Література

• Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — 160 с.