Трилисник (вузол)

найпростіший нетривіальний вузол
Trefoil Knot.gif

В теорії вузлів трилисник — найпростіший нетривіальний вузол. Трилисник можна отримати, з'єднавши 2 вільних кінці звичайного простого вузла, внаслідок чого отримаємо завузлене кільце. Як найпростіший вузол, трилисник є фундаментальним об'єктом при вивченні математичної теорії вузлів, яка має різноманітні застосування в топології, геометрії, фізиці, хімії та ілюзіонізмі.

ОписиРедагувати

Трилисник можна визначити як криву, яка отримується з таких параметричних рівнянь:

 
 
 

(2,3)-торичний вузол є трилисником. Такі параметричні рівняння задають (2,3)-торичний вузол на торі  :

 
 
 
 
Трилисник з осьовою симетрією порядку 2.

Будь-яка безперервна деформація цієї кривої також вважається трилисником. Зокрема, будь-яка ізотопна трилиснику крива також вважається трилисником. Крім того, дзеркальне відображення трилисника також вважається трилисником. У топології і теорії вузлів трилисник зазвичай задається за допомогою діаграми.

В алгебричній геометрії трилисник можна отримати як перетин в C2 одиничної 3-сфери S3 з комплексною плоскою кривою нулів комплексного многочлена z2 + w3 (напівкубічна парабола).

 
Лівобічний трилисник
 
Правобічний трилисник

Якщо один кінець стрічки повернути 3 рази, а потім склеїти з іншим кінцем, її край утворить трилисник[1].

СиметріяРедагувати

Трилисник хіральний у тому сенсі, що він відрізняється від свого дзеркального відображення. Два варіанти трилисника відомі як лівобічний і правобічний. Неможливо шляхом деформації лівобічний варіант безперервним чином перевести в правобічний або навпаки, тобто, ці два трилисники не ізотопні.

Хоча трилисник хіральний, він оборотний, тобто немає різниці в якому напрямку трилисник обходиться — за годинниковою стрілкою чи проти.

 
Трилисник дозволяє триколірну розмальовку[ru].
 
Простий вузол стає трилисником після з'єднання кінців.

НетривіальністьРедагувати

Трилисник нетривіальний, що означає, що неможливо «розв'язати» трилисник у тривимірному просторі без розрізання. З математичної точки зору це означає, що трилисник не ізотопний тривіальному вузлу. Зокрема, не існує послідовності рухів Рейдемейстера, за допомогою яких вузол розв'язується.

Доведення цього вимагає побудови інваріанта вузла, який відрізняється від інваріанта тривіального вузла. Найпростіший такий інваріант — триколірна розмальовка[ru] — трилисник дозволяє триколірну розмальовку, а тривіальний вузол — ні. Крім того, будь-який основний многочлен вузла трилисника відрізняється від многочлена тривіального вузла, як і більшість інших інваріантів.

КласифікаціяРедагувати

В теорії вузлів трилисник є першим нетривіальним вузлом і єдиним вузлом з числом перетинів три. Він є простим і зазначений під номером 31 в нотації Александера-Бріггза. Нотація Давкера[en] для трилисника — 4 6 2, а нотація Конвея трилисника — [3].

Трилисник можна описати як (2,3)-торичний вузол. Можна отримати цей вузол шляхом замикання коси σ13.

Трилисник є альтернованим вузлом. Однак, він не є зрізаним вузлом, що означає, що він не обмежує 2-вимірного диска на 4-вимірній сфері. Щоб це показати, слід зауважити, що його сигнатура[en] ненульова. Інше доведення — многочлен Александера не задовольняє умові Фокса — Милнора.

Трилисник є розшарованим[en], тобто його доповнення в   є локально тривіальним розшаруванням над колом  . У моделі трилисника як множини пар   комплексних чисел, таких що   і  , це локально тривіальне розшарування має відображення Мілнора[en]   як розшарування, а тор с виколотою точкою — як поверхню розшарування.

ІнваріантиРедагувати

Многочлен Александера[ru] трилисника є

 

а многочлен Конвея

 [2]

Многочлен Джонса

 

а многочлен Кауфмана трилисника —

 

Група вузла трилисника задається поданням

 

або, еквівалентно,

 [3]

Ця група ізоморфна групі кіс з трьома нитками.

Трилисники в релігії та культуріРедагувати

Як найпростіший нетривіальний вузол, трилисник є частим мотивом[ru] в іконографії та образотворчому мистецтві.

ПриміткиРедагувати

  1. Shaw, 1933.
  2. 3_1, The Knot Atlas.
  3. Weisstein, Eric W. Trefoil Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати


ПосиланняРедагувати