Теорема Сколема — Нетер

В теорії кілець теорема Сколема — Нетер описує гомоморфізми між центральними простими алгебрами і простими алгебрами, зокрема автоморфізми центральних простих алгебр. Теорема зокрема має важливе значення у теорії тіл (які є центральними простими алгебрами над своїм центром) і іноді називається першою основною теоремою теорії тіл.

Теорему вперше довів норвезький математик Торальф Сколем у 1927 році[1].

Твердження теоремиРедагувати

Якщо f і g — два гомоморфізми скінченновимірної простої алгебри В в скінченновимірну центральну просту алгебру А (обидві над полем k), то в А існує такий оборотний елемент а, що   для всіх  

ДоведенняРедагувати

Розглянемо алгебру  , яка є простою оскільки A є центральною простою алгеброю, а Bop є простою. На A можна ввести структури модуля над   за допомогою операцій множення:

  і  .

Позначимо ці модулі   і   відповідно. Оскільки вони є модулями над простою алгеброю (а, згідно теореми Веддерберна — Артіна, фактично над алгеброю матриць над деяким тілом) і розмірності їх над k є однаковими (рівними розмірності A як k-векторного простору), то   і   є ізоморфними.

Нехай   — ізоморфізм з   у  . Тоді   є автоморфізмом A як правого модуля над собою і тому має вигляд   де a — фіксований оборотний елемент з A. Крім того   є гомоморфізмом лівих B-модулів, тобто   або, якщо означення   і   , то  . Зокрема для x = 1, одержується рівність   для будь-якого   Звідси остаточно   що завершує доведення.

НаслідкиРедагувати

  • Ізоморфні прості підалгебри В і В' скінченновимірної центральної простої алгебри А є спряженими. До того ж будь-який ізоморфізм   продовжується до внутрішнього автоморфізма алгебри А, тобто має вигляд   де а — оборотний елемент алгебри А.
Доведення випливає з теореми Сколема — Нетер, якщо разом з g розглянути тотожне вкладення f алгебри В в алгебру А.
  • Будь-який автоморфізм центральної простої алгебри є внутрішнім, тобто   де а — оборотний елемент алгебри А. У цьому твердженні факт того, що А є центральною алгеброю є значимим. Наприклад комплексні числа є алгеброю над полем дійсних чисел і комплексне спряження є автоморфізмом цієї алгебри, що не є внутрішнім автоморфізмом.
  • У доведенні теореми роль А і B є значною мірою симетричною, тому при незначній модифікації доведення одержується симетрична версія теореми: якщо f і g — два гомоморфізми скінченновимірної центральної простої алгебри В в скінченновимірну просту алгебру А (обидві над полем k), то в А існує такий оборотний елемент а, що   для всіх  
  • Також з попередньої версії теореми виводиться симетрична версія першого наслідку: ізоморфні центральні прості підалгебри В і В' скінченновимірної простої алгебри А є спряженими. До того ж будь-який ізоморфізм   продовжується до внутрішнього автоморфізма алгебри А, тобто має вигляд   де а — оборотний елемент алгебри А.

УзагальненняРедагувати

Нехай R — просте кільце Артіна з центром F, і нехай A, B — прості підалгебри в R, які містять F і мають скінченну розмірність над F. Якщо   — ізоморфізм А на В, як F-алгебр, то існує оборотний елемент   такий, що   для всіх  

ПриміткиРедагувати

  1. Skolem, Thoralf (1927). Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme. Skrifter Oslo (German) (12): 50. JFM 54.0154.02. 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко Конечномерные алгебры, Киев: «Вища школа», 1980, 192с.
  • Draxl, P. K. (1983). Skew Fields. London Mathematical Society Lecture Note Series 81. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521272742. 
  • Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central Simple Algebras and Galois Cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. MR 2266528.