Уявна одиниця

Уявна одиниця $i\,$ — число, що при піднесенні до квадрата дає від'ємну одиницю:

i на комплексній або декартовій площині. Дійсні числа знаходяться на горизонтальній осі, а уявні числа на вертикальній осі.

$i^{2}=-1\$

Уявна одиниця не належить полю дійсних чисел, однак дає можливість розширити його до поля комплексних чисел.

Уявна одиниця є одним з двох розв'язків квадратного рівняння x² + 1 = 0. Хоча не існує такого дійсного числа що мало б таку властивість, i використовують для розширення дійсних чисел до множини, що називається комплексними числами, і використовувати додавання і множення. Прикладом використання i для утворення комплексного числа є наступний запис: 2 + 3i.

Уявна одиниця та від'ємна уявна одиниця

Наведене вище рівняння має два розв'язки. Якщо один з них є $i\$, то іншим розв'язком буде $-i\$, бо справджується наступна рівність:

$(-i)^{2}=(-1\cdot i)\cdot (-1\cdot i)=(-1\cdot (-1))\cdot (i\cdot i)=1\cdot i^{2}=i^{2}=-1\ .$

Таким чином, виникає неоднозначність означення комплексного числа. Проте, хоча ці два числа не рівні між собою, для математики не існує різниці у тому, яке саме з двох розв'язків рівняння $i^{2}=-1\$ позначатиметься $i\$, а яке $-i\$.

Степені уявної одиниці

Степені $i$ повторюються в циклі:

$\ldots$

$i^{-3}=i\,$

$i^{-2}=-1\,$

$i^{-1}=-i\,$

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$\ldots$

Що може бути записано для будь-якого ступеня у вигляді:

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i.\,$

де n — будь-яке натуральне число.

Звідси: $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$ де mod 4 — це залишок від ділення на 4.

Число $i^{i}$ є дійсним:

$i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots$

Факторіал

Факторіал уявної одиниці i можна визначити як значення гамма-функції від аргументу 1 + i:

$i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

Також

$|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564....$

Корені з уявної одиниці

В полі комплексних чисел корінь n-го ступеня має n рішень. На комплексній площині корені уявної одиниці знаходяться у вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса.

$u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Це випливає з формули Муавра й того, як уявна одиниця записується у тригонометричному вигляді:

$i=\cos \ {\frac {\pi }{2}}+i\ \sin \ {\frac {\pi }{2}}$

Зокрема, ${\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}$ та ${\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}$

Також корені уявної одиниці можуть бути представлені за допомогою експоненти:

$u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Див. також

• Дуальні числа і Подвійні числа
• Комплексний аналіз
• Кватерніони
• Гіперкомплексні числа

Література

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
• Лаврентьев М. А, Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Москва : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 736 с.(рос.)