Напівпростий лінійний оператор

Напівпростий лінійний оператор — лінійне перетворення $A$ векторного простору $V$ над полем $K$ для якого будь-який підпростір у $V$, що є інваріантним щодо $A$, має інваріантне пряме доповнення, тобто якщо $S\subset V$ — лінійний підпростір, для якого $A(S)\subset S$, то також існує підпростір $T\subset V$, такий що $A(T)\subset T$ і також $V=S\oplus T.$

Іншими словами, потрібно, щоб $A$ визначав на $V$ структуру напівпростого модуля над кільцем $K[A]$.

У скінченновимірному випадку матриця, що є матрицею напівпростого лінійного перетворення називається напівпростою матрицею.

Приклади

Прикладами напівпростих матриць і відповідно лінійних перетворень для скінченновимірних евклідових просторів є:

• Ортогональна матриця
• Симетрична матриця
• Кососиметрична матриця
• Будь-яка діагоналізовна матриця

Властивості

• Властивість напівпростоти лінійних перетворень зберігається при переході до інваріантного підпростору $W\subset V$ і до фактор-простору $V/W$.
• Для скінченновимірних просторів лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли його мінімальний многочлен не має кратних множників.
• У випадку простору над алгебрично замкнутим полем $K$ це еквівалентно тому, що лінійне перетворення є діагоналізовним.
• Попереднє твердження буде справедливим і у випадку, коли всі власні значення лінійного перетворення належатимуть полю (не обов'язково алгебрично замкнутому), над яким визначений векторний простір.
• Якщо поле $K$ є досконалим, то лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли воно є діагоналізовним у алгебричному замиканні поля.
• Якщо $L$ — розширення поля $K$ і $A_{L}=A\otimes 1$ — продовження відображення $A$ на простір $V_{L}=V\otimes _{K}L$, то з того що $A_{L}$ є напівпростим випливає що і $A$ є напівпростим. Якщо $L$ є сепарабельним над $K$, то справедливим є і обернене твердження. Ендоморфізм $A$ називається абсолютно напівпростим, якщо $A_{L}$ є напівпростим для будь-якого розширення $L\supset K$. Для цього необхідно і достатньо, щоб мінімальний многочлен не мав кратних коренів в алгебраїчному замиканні поля $K$, тобто щоб ендоморфізм $A_{\bar {K}}$ був діагоналізовним.

Див. також

• Діагоналізовна матриця
• Розклад Жордана — Шевальє

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Semi-simple endomorphism, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4