Гомоморфізм кілець

Гомоморфізмом кілець називається деяке відображення одного кільця в інше, що узгоджується з операціями додавання і множення.

Визначення ред.

Гомоморфізм кілець ред.

Нехай $(R,+,\cdot )$ і $(S,\oplus ,\odot )$ — два кільця.

Гомоморфізмом кілець $R$ і $S$ називається відображення $h\colon R\to S$ для якого виконуються умови

$h(a+b)=h(a)\oplus h(b)$
$h(a\cdot b)=h(a)\odot h(b)$

Якщо $R$ і $S$ мають одиничні елементи, то, як правило, додатково вимагається

$h(1_{R})=1_{S}$ — одиничний елемент $R$ відображається на елемент $S$

Пов'язані визначення ред.

Образом гомоморфізма $h$ називається множина

\operatorname {Im} (h)=\{a\in S:\exists _{b\in R}\;a=h(b)\}

Образ гомоморфізма $h$ є підкільцем кільця $S$ .

Ядром гомоморфізма $h$ називається множина

\ker h=\{a\in R:h(a)=0_{S}\}

,

де $0_{S}$ позначає нуль кільця $S$ . Ядро гомоморфізма $h$ є ідеалом кільця $R$ . Для комутативних кілець всі ідеали є ядрами деяких гомоморфізмів.

Мономорфізмом кілець називається ін'єктивний гомоморфізм. Гомоморфізм $h\colon R\to S$ є мономорфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли $\ker h=\{0_{R}\}$ , де $0_{R}$ позначає нуль кільця $R$ .

Епіморфізмом кілець називається гомоморфізм $h\colon R\to S$ , що є сюр'єктивним відображенням.

Гомоморфізм $h\colon R\to S$ називається ізоморфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли $h$ є бієктивним відображенням, тобто одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Для нього тоді існує обернене відображення $h^{-1}$ , що теж є ізоморфізмом кілець. Кільця $R$ і $S$ називаються ізоморфними, якщо існує ізоморфізм $h\colon R\to S$ .

Гомоморфізм $h\colon R\to R$ кільця R в себе називається ендоморфізмом кільця. Якщо при цьому $h\colon R\to R$ є ізоморфізмом, тоді цей гомоморфізм називається автоморфізмом.

Властивості ред.

$h(0_{R})=0_{S}$ тобто нульовий елемент з кільця $R$ відображається на нульовий елемент в $S$
Для всіх елементів $a\in R$ виконується $-h(a)=h(-a)$ . Ця рівність випливає з того, що: $h(a)\oplus h(-a)=h(a+(-a))=h(0_{R})=0_{S}.$
Якщо існує гомоморфізм $h\colon R\to S$ то характеристика кільця S ділить характеристику кільця R.
Якщо R і S є комутативними кільцями і P є простим ідеалом кільця S, то $h^{-1}(P)$ є простим ідеалом кільця R. Образ простого ідеалу при гомоморфізмі в загальному випадку не є навіть ідеалом.
Композиція двох гомоморфізмів кілець є гомоморфізмом кілець. Одиничне відображення є гомоморфізмом кілець. Тому всі кільця разом з гомоморфізмами кілець утворюють категорію — категорію кілець. Комутативні кільця разом із їх гомоморфізмами утворюють підкатегорію категорії кілець.

Приклади ред.

Комплексне спряження $\mathbb {C} \to \mathbb {C} ;z\mapsto {\bar {z}}$ є прикладом автоморфізму кільця.
Відображення $\varphi \colon \,\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{\mathit {n\mathbb {Z} }}$ визначене як ${\mathit {z}}\mapsto {\mathit {z}}\operatorname {mod} {\mathit {n}}$ є епіморфізмом кілець.
Для деякого елемента $a\in R^{*}$ можна визначити автоморфізм $f_{a}\colon R\to R;r\mapsto a\cdot r\cdot a^{-1}$ .
Для кільця функцій визначених в якійсь множині із значеннями в множині дійсних чисел, вибравши довільну точку із області визначення можна отримати відображення, що кожній функції ставить у відповідність її значення у вибраній точці. Дане відображення буде гомоморфізмом з кільця функцій в поле дійсних чисел.

Канонічний гомоморфізм ред.

Для довільного кільця $R$ і його ідеала $I\subseteq R$ відображення $h\colon R\to R/I$ визначене як $h(a)=[a]$ є епіморфізмом. Таке відображення $h$ називається канонічним гомоморфізмом кільця $R$ на фактор-кільце $R/I$ .

Якщо $h\colon R\to S$ є епіморфізмом кілець $R,S$ , то $S$ є ізоморфним фактор-кільцю $R/\ker h$ (ізоморфізмом є відображення $g\colon R/\ker h\to S$ визначене як $g\left([a]\right)=h(a)$ ) і $h=g\circ f$ , де $f\colon R\to R/\ker h$ є канонічним гомоморфізмом.

Див. також ред.

Джерела ред.

Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)
Бондаренко Є.В. (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)