В теорії графів, граф G є симетричним (або дуго-транзитивним) якщо, для будь-яких пар суміжних вершин u1v1 і u2v2 графа G, існує автоморфізм

Граф Петерсена — (кубічний) симетричний граф. Будь-яка пара суміжних вершин може бути відображена на іншу через автоморфізм, бо будь-яке 5-вершинне кільце може бути відображене в будь-яке інше
f : V(G) → V(G)

такий, що

f(u1) = u2 and f(v1) = v2.[1]

Інакше кажучи, граф симетричний, якщо група його автоморфізмів діє транзитивно над впорядкованими парами суміжних вершин (тобто, над орієнтованими ребрами).[2] Такий граф іноді називають 1-дуго-транзитивний[2] або прапорцево-транзитивний.[3]

За визначенням (ігноруючи u1 і u2), симетричний граф без ізольованих вершин має також бути вершинно-транзитивним.[1] Завдяки визначенню через відображення одного ребра на інше, симетричний граф має також бути реберно-транзитивним. Однак, реберно-транзитивний граф не має бути симетричним, бо ab можуть відбиватись в cd, але не в dc. Наприклад, напівсиметричний граф є реберно-транзитивним і регулярним, але не вершинно-транзитивним.

Види графів за їхніми автоморфізмами
відстанево-транзитивнийсильно регулярний
симетричний (дуго-транзитивний)t-транзитивний, t ≥ 2
(якщо зв'язний)
вершинно- та реберно-транзитивний[en]реберно-транзитивний і регулярнийреберно-транзитивний
вершинно-транзитивнийрегулярний
граф Келікососиметричний[en]асиметричний

Таким чином, кожний зв'язний симетричний граф має бути і вершинно-транзитивним, і реберно-транзитивним, зворотне твердження теж правильне для графів непарних степенів.[3] Однак, для парних степенів, існують зв'язні вершинно-транзитивні і реберно-транзитивні, але не симетричні графи.[4] Такі графи називаються напівтранзитивними[en].[5] Найменший зв'язний напівтранзитивний граф це граф Хольта[en], зі степенем 4 і 27 вершинами.[1][6] Деякі автори використовують термін «симетричний граф» для позначення графів, що вершинно-транзитивні і реберно-транзитивні, радше ніж дуго-транзитивні. Таке визначення охоплює напівтранзитивні графи, які виключені визначенням поданим вище.

У відстанево-транзитивного графа замість розглядання пар суміжних вершин (тобто вершин на відстані 1), визначення розглядає дві пари вершин, кожна з однаковою відстанню між вершинами. Такий граф автоматично симетричний за визначенням.[1]

Визначимо t-дугу як послідовність з t+1 вершин таких, що будь-які дві послідовні вершини суміжні, з допустимою відстанню між вершинами, що повторюються, більшою за два кроки. T-транзитивний граф це такий граф, що група автоморфізмів діє транзитивно на t-дугах, але не на (t+1)-дугах. Через те, що 1-дуги це просто ребра, кожний симетричний граф степені 3 або більше має бути t-транзитивний для деякого t, і значення t можна використати для подальшої класифікації симетричних графів. Куб є 2-транзитивним, наприклад.[1]

ПрикладиРедагувати

Поєднання умови симетричності з накладанням обмеження кубічності на граф (тобто всі вершини мають степінь 3) породжує дуже сильну умову, і такі графи становляться досить рідкісними, щоб бути занесеними в список. Перепис Фостера (англ. Foster census) і його розширення подають такі списки.[7] Перепис Фостера був початий в 1930 році Рональдом Фостером коли він працював у Bell Labs,[8] і в 1988 (коли Фостеру було 92[1]) складений на той момент його перелік (список всіх кубічних симетричних графів до 512 вершин) був опублікованим у формі книги.[9] Перші тринадцять елементів цього списку це кубічні симетричні графи до 30 вершин[10][11] (десять з них також відстанево-транзитивні; винятки позначені):

Вершин Діаметр Обхват Граф Примітки
4 1 3 Повний граф K4 відстанево-транзитивний, 2-transitive
6 2 4 Повний двочастковий граф K3,3 відстанево-транзитивний, 3-транзитивний
8 3 4 Вершини і ребра куба відстанево-транзитивний, 2-транзитивний
10 2 5 Граф Петерсена відстанево-транзитивний, 3-транзитивний
14 3 6 Граф Хівуда відстанево-транзитивний, 4-транзитивний
16 4 6 Граф Мебіуса — Кантора 2-транзитивний
18 4 6 Граф Паппуса відстанево-транзитивний, 3-транзитивний
20 5 5 Вершини і ребра додекаедра відстанево-транзитивний, 2-транзитивний
20 5 6 Граф Дезарга відстанево-транзитивний, 3-транзитивний
24 4 6 Граф Науру (узагальнений граф Петерсена G(12,5)) 2-транзитивний
26 5 6 Граф F26A[11] 1-транзитивний
28 4 7 Граф Коксетера відстанево-транзитивний, 3-транзитивний
30 4 8 Граф Тютте-Коксетера відстанево-транзитивний, 5-транзитивний

Іншими добре відомими кубічними симетричними графами є граф Діка, граф Фостера і граф Біґґса–Сміта. Десять відстанево-транзитивних графів, які перелічені вище, разом із графом Фостера і графом Біґґса—Сміта, є єдиними кубічними відстанево-транзитивними графами.

Некубічні симетричні графи включають циклічні графи (степеня 2), повні графи (степеня 4 або вище, коли вони мають 5 або більше вершин), графи гіперкуби (степеня 4 або вище, коли вони мають 16 або більше вершин), і графи утворені вершинами і ребрами октаедра, ікосаедра, кубооктаедра та ікосододекаедра. Граф Радо є прикладом симетричного графа з нескінченною кількістю вершин і нескінченним степенем.

ПриміткиРедагувати

  1. а б в г д е Biggs, Norman (1993). Algebraic Graph Theory (вид. 2nd). Cambridge: Cambridge University Press. с. 118–140. ISBN 0-521-45897-8. 
  2. а б Godsil, Chris; Royle, Gordon (2001). Algebraic Graph Theory. New York: Springer. с. 59. ISBN 0-387-95220-9. 
  3. а б Babai, L (1996). Automorphism groups, isomorphism, reconstruction. У Graham, R; Groetschel, M; Lovasz, L. Handbook of Combinatorics. Elsevier. Архів оригіналу|archiveurl= вимагає |url= (довідка) за 11 червня 2010. Процитовано 10 березня 2011. 
  4. Bouwer, Z. «Vertex and Edge Transitive, But Not 1-Transitive Graphs.» Canad. Math. Bull. 13, 231—237, 1970.
  5. Gross, J.L. and Yellen, J. (2004). Handbook of Graph Theory. CRC Press. с. 491. ISBN 1584880902. 
  6. Holt, Derek F. (1981). A graph which is edge transitive but not arc transitive. Journal of Graph Theory 5 (2): 201–204. doi:10.1002/jgt.3190050210. .
  7. Marston Conder, Trivalent symmetric graphs on up to 768 vertices [Архівовано 15 червня 2011 у Wayback Machine.], J. Combin. Math. Combin. Comput, vol. 20, pp. 41—63
  8. Foster, R. M. «Geometrical Circuits of Electrical Networks.» Transactions of the American Institute of Electrical Engineers 51, 309—317, 1932.
  9. «The Foster Census: R.M. Foster's Census of Connected Symmetric Trivalent Graphs», by Ronald M. Foster, I.Z. Bouwer, W.W. Chernoff, B. Monson and Z. Star (1988) ISBN 0-919611-19-2
  10. Biggs, p. 148
  11. а б Weisstein, Eric W., «Cubic Symmetric Graph [Архівовано 5 січня 2011 у Wayback Machine.]», from Wolfram MathWorld.