Відкрити головне меню

В теорії графів вершинно-транзитивним графом називається граф G такий, що для будь-яких двох вершин v1 і v2 графа G існує автоморфізм

такий, що

Іншими словами граф вершинно-транзитивний, якщо його група автоморфізму діє транзитивно щодо вершин[1]. Граф вершинно-транзитивний тоді і тільки тоді, коли результати автоморфізмів його доповнення ідентичні.

Будь-який симетричний граф без ізольованих вершин є вершинно-транзитивним, і будь-який вершинно-транзитивний граф є регулярним. Однак не всі вершинно-транзитивні графи симетричні (наприклад, ребра усіченого тетраедра), і не всі регулярні графи вершинно-транзитивні (наприклад, граф Фрухта і граф Тітце).

Приклади скінченних графівРедагувати

 
Ребра усіченого тетраедра формують вершинно-транзитивний граф (одночасно і граф Келі), не є симетричним.

Множина скінченних вершинно-транзитивних графів включає симетричні графи (такі як граф Петерсена, граф Хівуда і вершини та ребра правильних багатогранників). Скінченні графи Келі (такі як сполучені в куб цикли[en]) є вершинно-транзитивними, як і вершини і ребра архімедового тіла (хоча тільки 2 з них симетричні). Поточнік, Спіга і Веррет (Primoz Potočnik, Pablo Spiga, Gabriel Verret) створили перепис всіх зв'язних кубічних (тобто з вершинами степеня 3) вершинно-транзитивних графів з кількістю вершин, що не перевищує 1280[2].

ВластивостіРедагувати

Реберна зв'язність вершинно-транзитивного графа дорівнює степеню d, в той час як вершинна зв'язність буде принаймні 2(d+1)/3[3]. Якщо степінь дорівнює 4 або менше, або граф також реберно-транзитивний, або граф є мінімальним графом Келі, то вершинна зв'язність буде рівною d[4].

Приклади нескінченних графівРедагувати

До нескінченних вершинно-транзитивних графів належать:

Два зліченних вершинно-транзитивних графи називаються квазіізометричними[en], якщо відношення їхніх функцій відстані обмежене знизу і зверху. Відома гіпотеза стверджує, що будь-який нескінченний вершинно-транзитивний граф квазіізоморфний графу Келі. Контрприклад був наведений Райнхардом Дістелем[de] та Імре Лідером[en] у 2001-му році[5]. У 2005-му році Ескін[ru], Фішер і Вайт підтвердили правильність контрприкладу[6].

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Chris Godsil, Gordon Royle. Algebraic Graph Theory. — New York : Springer-Verlag, 2001. — Т. 207.
  2. Potočnik P., Spiga P. and Verret G. (2012). Cubic vertex-transitive graphs on up to 1280 vertices. Journal of Symbolic Computation. 
  3. Godsil, C. and Royle, G. Algebraic Graph Theory. — Springer Verlag, 2001.
  4. Babai, L. Technical Report TR-94-10. — University of Chicago, 1996.アーカイブされたコピー. Архів оригіналу за 2010-06-11. Процитовано 2010-08-29. 
  5. Reinhard Diestel, Imre Leader. [1]. — Т. 14. — DOI:10.1023/A:1011257718029.
  6. Alex Eskin, David Fisher, Kevin Whyte. Quasi-isometries and rigidity of solvable groups. — 2005.

ПосиланняРедагувати