Граф Петерсенанеорієнтований граф з 10 вершинами і 15 ребрами. Це невеличкий граф, який слугує корисним прикладом або контрприкладом для багатьох проблем в теорії графів. Названий на честь Юліуса Петерсена, який у 1898 побудував його як найменший безмостовий кубічний граф з неможливістю трикольорового розфарбування ребер.[1] Хоча граф звичайно приписують Петерсену, він з'явився на 12 років раніше, в 1886.[2]

Граф Петерсена
Petersen1 tiny.svg
Граф Петерсена зазвичай зображують у вигляді п'ятикутника з п'ятикутником всередині, з п'ятьма спицями.
Названий на честь Юліуса Петерсена
Вершин 10
Ребер 15
Радіус 2
Діаметр 2
Обхват 5
Автоморфізм 120 (S5)
Хроматичне число 3
Хроматичний індекс 4
Дробово-хроматичний індекс 3
Властивості Кубічний
Сильно регулярний
Відстанево-транзитивний

Дональд Кнут стверджує, що граф Петерсена це «видатна форма, що слугує контрприкладом для багатьох оптимістичних пророцтв про те, що може бути правильним для графів загалом.»[3]

ПобудоваРедагувати

 
Граф Петерсена як граф Кнесера  

Граф Петерсена — це доповнення реберного графа для  . Це також граф Кнесера  ; це значить, що він має по одній вершині для кожного 2-елементної підмножини 5-елементної множини, і дві вершини зв'язані ребром тоді і тільки тоді, якщо відповідні двохелементні підмножини не пересікаються між собою. Як граф Кнесера форми   — це приклад непарного графу.

ВкладенняРедагувати

 
Щоб отримати   зведіть голубі до найближчих зелених і між собою дві червоні

Граф Петерсена — непланарний. Будь-який непланарний граф включає в собі як мінор повний граф  , або повний дводольний граф  , але граф Петерсена має як мінори їх обох. Мінор   можна отримати видаленням ребер досконалого парування, наприклад, п'яти коротких ребер на малюнку.

 
Кількість перетинів графа Петерсена дорівнює 2

Найпоширеніший малюнок графа Петерсена, пентаграма всередині пентагона, має п'ять перетинів. Однак, це найкращий малюнок з огляду на кількість перетинів; існує інше зображення лише з двома перетинами. На торі граф Петерсена можна намалювати без перетинів; отже його зорієнтований рід 1.

ПриміткиРедагувати

  1. Brouwer, Andries E. The Petersen graph. 
  2. Kempe, A. B. (1886). A memoir on the theory of mathematical form. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 177: 1–70. doi:10.1098/rstl.1886.0002. 
  3. Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming; volume 4, pre-fascicle 0A. A draft of section 7: Introduction to combinatorial searching.