Проєктивна границя

(Перенаправлено з Проективна границя)

Проєктивна границя (обернена границя) — конструкція, що використовується в різних розділах математики яка дозволяє побудувати новий об'єкт через множину однотипних об'єктів які є проіндексовані деякою напрямленою множиною і набору відображень , . Проєктивні границі є одним із видів границі в теорії категорій. Для проєктивної границі зазвичай використовуються наступні позначення:

,
.

Проєктивну границю можна визначити в довільній категорії. Двоїсте поняття — індуктивна границя.

Означення

ред.

Алгебричні структури

ред.

Для алгебричних систем можна дати відносно просте означення проєктивної границі. Нехай  частково впорядкована множина   (наприклад, множина цілих чисел) і для кожного елемента   задана деяка алгебрична система   з будь-якого фіксованого класу (наприклад, абелевих груп, модулів над заданим кільцем), а кожній парі  , такій що  ,  гомоморфізм  , причому  тотожні відображення для будь-якого   і   для будь-яких   з  . Тоді проєктивна границя   є за означенням підсистемою прямого добутку   виду:

 .

Існують канонічні проєкції  , які вибирають  -у компоненту прямого добутку для кожного  . Ці проєкції повинні бути гомоморфізмами, виходячи з цього можна ввести додаткову алгебричну структуру на проєктивній границі.

Загальний випадок

ред.
 

У довільній категорії проєктивну границю можна описати за допомогою її універсальної властивості. Нехай   — сімейство об'єктів і морфізмів категорії C, яке задовольняє тим же вимогам, що і в попередньому пункті. Тоді   називається проєктивною границею системи  , або  , якщо виконані наступні умови:

  1. Існує таке сімейство відображень  , що   для будь-яких  ;
  2. Для будь-якого сімейства відображень  , довільної множини  , для якої виконані рівності   для будь-яких  , існує єдине відображення  , для якого   , для всіх  .

Більш загально, проєктивна границя — границя в категорному сенсі системи  .

Приклади

ред.
  • Цілі  -адичні числа є проєктивною границею послідовності   з природними відображеннями виду отримання залишку   при  .
  • Кільце   формальних степеневих рядів над комутативним кільцем   є проєктивною границею кілець  , індексованих натуральними числами, з природними проєкціями  .
  • Множина Кантора є гомеоморфною проєктивній границі добутків двоточкових множин (з дискретною топологією) з проєкціями на перші кілька координат як відображень.
  • В категорії топологічних просторів проєктивні границі задаються ініціальною топологією на відповідній множині-носії.

Див. також

ред.

Джерела

ред.
  • Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484
  • Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC 40551485
  • Mac Lane, Saunders (September 1998), Categories for the Working Mathematician (вид. 2nd), Springer, ISBN 0-387-98403-8
  • Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)