Поверхня Фермі

У фізиці конденсованої речовини поверхня Фермі — це поверхня в імпульсному просторі, яка відокремлює зайняті стани від незайнятих станів електронів при нульовій температурі.^[1] Форма поверхні Фермі випливає з періодичності та симетрії кристалічної ґратки та із заповнення електронних енергетичних зон. Існування поверхні Фермі є прямим наслідком принципу заборони Паулі, який допускає максимум один електрон на квантовий стан.^[2]^[3]^[4]^[5] Вивчення поверхонь Фермі матеріалів називається ферміологією.^[6]

Історія ред.

У 1900 році Пауль Друде^[en] розробив класичну теорію провідності металів і напівпровідників, що пізніше була названа на честь нього. У ній рух електронів крізь тверде тіло описується подібно до руху частинок через в'язку рідину: електрони час від часу стикаються з іонами і зупиняються, а між цими зіткненнями — прискорюються у напрямку дії поля. Модель Друде давала реалістичні передбачення питомого опору металів і закону Ома, проте не могла пояснити ні величезний опір ізоляторів, ні температурні зміни опору^[7].

На початку 20 століття спільними зусиллями багатьох вчених того часу була створена квантова механіка, і у 1920-х роках ця теорія була застосована для пояснення властивостей твердих тіл. Першою вдалою спробою стала модель вільних електронів створена Зоммерфельдом у 1928 році^[8]. Зоммерфельд уточнив теорію Друде, враховуючи що, через принцип заборони Паулі розподіл енергій електронів описується статистикою Фермі—Дірака.

У 1929 році Фелікс Блох показав, що у періодичному потенціалі, яким є потенціал що створюється кристалічною ґраткою іонів, хвильові функції електронів теж будуть мати періодичну форму (так звані Блохівські хвилі), кожна з яких задається деяким хвильовим вектором^[9].

У статті 1933 року Зоммерфельд і Бете вперше розглянули поверхню на просторі хвильових векторів (обернена ґратка), що розділяє зайняті і незайняті стани за нульової температури, а у 1934 році Джонс^[de] і Зенер вперше використали термін "поверхня Фермі" для неї^[10]^[11].

Також, у 1934 році Генрі О'Браян і Герберт Скіннер^[en] вимірюючи характеристичні спектри експериментально показали, що у реальних металах, за ненульової температури, границя між заповненими і незаповненими рівнями достатньо різка, тобто, поверхня Фермі не розмазується. Проте ці експерименти не могли допомогти встановити реальну форму поверхні^[10]^[12].

У 1930 році був відкритий Ефект де Гааза-ван Альфена для металів у сильному магнітному полі. Того ж року Ландау дав пояснення цьому ефекту, а у 1939 році, Девід Шенберг зміг поставити експеримент, що дозволяв встановити форму поверхні Фермі для бісмута, аналізуючі квантові осциляції^[en] у магнітному полі. Довгий час вважалося, що такі виміри можуть бути проведені виключно для бісмута через його унікальні властивості, проте у 1947 році Джулс Маркус спостерігав квантові осциляції у цинку, а пізніше вони були знайдені і для інших металів. Втім, виявилося, що форма поверхні Фермі для бісмуту дійсно є унікальною, а тому для інших металів не можна було застосувати ту саму методику обчислень. Проте Ларс Онсагер у 1952 році показав, що періоди цих осциляцій напряму залежать від максимальної площі перерізу поверхні Фермі поверхнею, перпендикулярною напрямку магнітного поля. Відповідно, змінюючи напрямок поля можна отримати деяке уявлення щодо форми^[10]^[13].

У 1954 році Ернест Зондхаймер і Брайан Піппард встановили зв'язок між кривиною поверхні Фермі і анізотропією поверхневого опору при високочастотних коливань поля. Спираючись на цю залежність, у 1957 році Брайан Піппард зміг визначити форму поверхні Фермі для міді^[10].

Способи зображення ред.

Двовимірний приклад: розширена, приведена і періодична схема, перша зона Бріллюена зверху, друга знизу, сірим кольором зафарбовані зайняті стани. Поверхня Фермі має форму кола

Двовимірний приклад: поверхня Фермі у приведеній схемі, у порівнянні з розширеною для різних радіусів кола. Кольорами позначені різні зони Бріллюена

Існує кілька способів зобразити поверхню Фермі, які називаються схемами. Найбільш тривіальною є розширена зонна схема, де форма поверхні показується для однієї зони Бріллюена, і якщо поверхня виходить за межі зони, то вона просто малюється у сусідніх зонах (а поверхні цих сусідніх зон не показуються взагалі). Цей спосіб, не зважаючи на простоту, не завжди є зручним: якщо поверхня Фермі перетинає межі першої зони Бріллюена (а така ситуація є досить розповсюдженою), утворюються ділянки, де різні поверхні накладаються одна на одну. Оскільки існування таких ділянок є важливим для розуміння властивостей металу, часто використовуються інші схеми^[14].

Приведена, або редукована схема: можна зображати лише одну ЗБ, і розглядати усі поверхні Фермі, що потрапили у деяку зону. Вони будуть перекриватися. У цьому випадку, часто позначають ті поверхні, для яких ця зона перша, друга тощо.

Періодична схема: подібна до редукованої, але зображують цілу обернену ґратку (тобто, кілька ЗБ поруч), але малюють тільки ті стани, які є заповненими для зони з деяким номером. Це дозволяє краще зрозуміти взаєморозташування заповнених і незаповнених станів, але потребує більше місця, оскільки кожна зона повинна малюватися окремо.

Теорія ред.

Приклад побудови комірки Вігнера-Зейтса для двовимірних ґраток

Атоми у кристалах розташовані періодично, тобто, існує деяка трансляційна симетрія — якщо у деякій точці простору $a$ є атом, то і у точці

a+(n_{1}t_{1},n_{2}t_{2},n_{3}t_{3})=a+\mathbf {T}

де $t_{1},t_{2},t_{3}$ — базис кристалічної ґратки, а $n_{1},n_{2},n_{3}$ — довільні цілі числа, теж буде атом. Відповідно, потенціал електричного поля, що створюється ґраткою теж є періодичним. Згідно теоремі Блоха хвильові функції електронів у такому потенціалі будуть мати вигляд

\psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )\cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }

,

де $u(\mathbf {r} )$ — деяка довільна функція що має той же період що і ґратка, тобто $u(\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} +\mathbf {T} )$ , а $\mathbf {k}$ — деякий хвильовий вектор. Якщо додатково накласти умови скінченності кристала (граничні умови Борна-Кармана), це приведе до відповідного обмеження на можливі значення вектору k: необхідно, щоб хвильова функція з таким періодом була б можлива у випадку константного потенціалу всередині кристала, або, іншими словами, кожна компонента вектора k може приймати лише дискретні значення $k_{i}=m_{i}*g_{i}/N_{i}$ , де $g_{i}$ — деякий базис, який залежить від T ( $g_{i}t_{j}=\delta _{ij}*2\pi$ , де $\delta _{ij}$ — символ Кронекера), $N_{i}$ — кількість періодів гратки вздовж розміру кристала (деяке дуже велике число), а $m_{i}$ — довільне ціле число^[15]^[16].

Перша зона Бріллюена для гранецентрованованої кубічної ґратки (така ґратка є дуже розповсюдженою, тому окремі точки на ній мають сталі позначення)

Таким чином, кожному можливому стану електрона в кристалі відповідає деяка точка у просторі хвильових векторів, і у кожному з станів можуть існувати не більш як два електрони. Кожному такому значенню відповідає деяке значення енергії $E(\mathbf {k} )$ Такий простір називається оберненим простором, оскільки хвильовий вектор має розмірність м^—1. Якщо перенести положення всіх атомів нескінченної кристалічної ґратки в обернений простір, то вони теж будуть розташовані періодично, а отже утворювати ґратку з базисними векторами $g_{1},g_{2},g_{3}$ . Для більшості ґраток Браве, обернена ґратка має той же тип що і оригінальна, проте є виключення: оберненої до гранецентрованої кубічної ґратки є об'ємноцентрована кубічна і навпаки, оберненої до гранецентрованої ромбічної ґратки є об'ємноцентрована ромбічна і навпаки^[16].

Можна показати, що два хвильові вектори, $\mathbf {k}$ і $\mathbf {k} +(m_{1}g_{1}+m_{2}g_{2}+m_{3}g_{3})$ (вираз в дужках часто позначається як $G_{m}$ ) виражають тотожні стани, а отже можна вибрати одну комірку ґратки у оберненому просторі, що містить лише точки які не можна перетворити одна в одну трансляцією, і розглядати лише її, а решта простору добудовується трансляційною симетрією^[17]. Таку комірку називають першою зоною Бріллюена^[18]. Існує багато способів вибрати її, але найпопулярнішим є комірка Вігнера — Зейтца, оскільки вона зберігає усі симетрії кристала: для кожного вузла ґратки у комірку потрапляють ті точки, які ближчі до нього ніж до будь-якого іншого вузла. Аналогічно проводячи нормалі до більш далеких сусідів можна будувати другу, третю і т.д. зони.

Розподіл частинок за енергіями у фермі-газі за різних температур

Розподіл енергій електронів має не такий самий вигляд як розподіл енергій частинок у газі ( $mv^{2}/2=3/2kT$ ), а описується статистикою Фермі—Дірака — всі нижні енергетичні рівні є заповненими, а також існує "схил" що складається з частково заповнених рівнів біля верхньої границі, ширина якого зменшується з температурою. Крім того, з тієї ж причини, електрон може змінити свою енергію лише якщо енергетичний рівень на який він хоче перейти — вільний^[19]. Через це електрони що знаходяться на нижніх енергетичних рівнях не можуть змінити напрямок свого руху — всі доступні для переходу рівня є зайнятими, що, в свою чергу, сильно збільшує ефективну довжину вільного пробігу.

При понижені температури кількість частково заповнених рівнів стає все меншою, і графік розподілу енергії електронів обривається все більш круто, і при наближенні до абсолютного нуля формується "сходинка", різка границя, де всі стани з меншою енергією заповнені електронами, а всі стани з більшою — незаповнені. Ця границя називається енергією Фермі і позначається як $E_{F}$ . Оскільки значення енергії і відповідного хвильового вектора пов'язані неперервною функцією^[20], то аналогічну границю можна провести і в просторі хвильових векторів, а з міркувань, описаних вище, вона буде повністю потраплять всередину першої зони Бріллюена.

Хоча кількість станів всередині зони Брілюена залежить від розміру кристала, у тій самій мірі від розміру залежить і кількість електронів, тому доля зайнятих станів у зоні завжди буде однаковою^[20].

Реальні кристали завжди будуть мати температуру відмінну від абсолютного нуля, тому поверхня Фермі "розмазується" деякою мірою — утворюються порожні стани з енергією меншою за енергію Фермі, і зайняті стани з більшою, проте оскільки енергія Фермі у сотні разів перевищує теплову енергію електронів за кімнатної температури, поверхня Фермі все ще є хорошим наближенням реальної ситуації^[21].

Поверхня Фермі може як лежати повністю всередині зони Бріллюена, так і перетинати її границі^[21].

Існування поверхні Фермі ред.

Електрони є ферміонами, тому у твердій речовині на них буде діяти принцип Паулі, який буде змушувати їх займати вищі енергетичні рівні. За нульової температури вони щільно займають усі доступні рівні, і існує деякий найвищий зайнятий рівень — енергія Фермі. Це вірно для і для металів і для неметалів. Проте не у всіх кристалів є поверхня Фермі.

Атоми мають енергетичні рівні — дозволені значення енергії для електронів. Якщо кілька атомів зв'язуються у кристал, валентні електрони починають мати мати трохи відмінні значення енергії (також через принцип Паулі), і відповідно кожен рівень розпадається на кілька підрівнів, відповідно до кількості атомів. Реальні макроскопічні кристали складаються з величезної кількості атомів, порядку 10²³, тому говорять про зони, у яких енергетичні рівні, хоч і дискретні, але знаходяться так близько один від одного, що майже неперервні — електрони можуть легко переходити з рівня на рівень всередині зони (якщо на відповідному рівні є вільні місця).

Зони, що відповідають різним рівням можуть накладатися одна на одну, а можуть — ні. В останньому випадку між ними є деякий проміжок, енергії, які не може мати жоден електрон. Такий проміжок називається забороненою зоною. Часто у кристалі є багато зон, заповнених, частково заповнених або порожніх, і багато заборонених зон між ними.

Таким чином, є кілька варіантів розташування рівня Фермі у кристалі.

Він може знаходитися посередині деякої зони — тобто, електрони заповнюють цю зону лише частково. Така ситуація, наприклад, характерна для лужних металів — вони мають лише один валентний електрон, проте через те що на одному енергетичному рівні можуть перебувати два електрони, зона виявляється заповненою лише наполовину^[22].
Він знаходиться у забороненій зоні — у цьому випадку зона що знаходиться під забороненою (вона називається валентною заповнена повністю, а зона над забороненою (зона провідності) — повністю порожня. Електронам щоб перейти на новий рівень необхідно перестрибнути через широку заборонену зону. Ймовірність цього досить низька, тому в вільну для руху зону переходить лише невелика частина електронів. Так рівень Фермі розташовано у напівпровідниках та ізоляторах.
Він знаходиться на перетині двох зон — у цьому випадку електрони могли б заповнити валентну зону повністю, але через те що зона провідності частково перетинається з нею, частина електронів переходить на неї, і обидві зони виявляються частково заповненими. Так відбувається, наприклад, з берилієм (і іншими лужноземельними металами) — він має два електрони на 2s-орбіталі, які повністю мали б заповнити відповідну валентну зону, проте зона провідності, утворена з 2p-орбіталей накладається на неї, і через це елемент є металом^[23].

У другому з перерахованих випадків поверхні Фермі у кристалі не існує. Загалом, поширеною є думка, що саме існування поверхні Фермі визначає, чи є деяка речовина металом, чи ні^[24].

Ідеальний фермі-газ ред.

Рис.1. Поверхня Фермі вільних фермионів

Розглянемо ідеальний фермі-газ $N$ частинок. Згідно зі статистикою Фермі–Дірака, середнє число заповнення стану з енергією $\epsilon _{i}$ дається формулою^[25]

\langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},

де,

$\left\langle n_{i}\right\rangle$ — середнє число заповнення $i$ -го стану,
$\epsilon _{i}$ — кінетична енергія $i$ -го стану,
$\mu$ — хімічний потенціал (при нульовій температурі це максимальна кінетична енергія, яку може мати частинка, тобто енергія Фермі $E_{\rm {F}}$ ),
$T$ — абсолютна температура
$k_{\rm {B}}$ — стала Больцмана.

У границі $T\to 0$ ми маємо,

\left\langle n_{i}\right\rangle \to {\begin{cases}1&(\epsilon _{i}<\mu )\\0&(\epsilon _{i}>\mu )\end{cases}}.

За принципом заборони Паулі два ферміони не можуть перебувати в одному стані. Тому в стані найнижчої енергії частинки заповнюють усі енергетичні рівні нижче енергії Фермі $E_{\rm {F}}$ . Можна сказати $E_{\rm {F}}$ це енергетичний рівень, нижче якого є точно $N$ заповнених станів. У оберненому просторі ці частинки заповнюють певний об'єм, поверхня якого називається поверхнею Фермі.^[26] Поверхня Фермі ідеального фермі-газу є сферою (Рис.1), радіус якої (модуль хвильового вектора Фермі)

k_{\rm {F}}={\frac {p_{\rm {F}}}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2m^{*}E_{\rm {F}}}}{\hbar }}=2\pi {{\left({\frac {3n_{v}}{8\pi }}\right)}^{{}^{1}\diagup {}_{3}}}

,

визначається концентрацією електронів $n_{v}=N/V$ , де $p_{F}$ - імпульс Фермі, $m^{*}$ - ефективна маса електрону, $\hbar$ — зведена стала Планка, $V$ - об'єм, що займає фермі-газ.

Кристалічні провідники ред.

В металах рівень Фермі знаходиться у не повністю заповненій зоні - зоні провідності. Матеріал, рівень Фермі якого потрапляє в проміжок між енергетичними зонами (валентної зони та зони провідності), є ізолятором або напівпровідником залежно від ширини забороненої зони.

Рис. 2: Вид поверхні Фермі графіту в кутових Н точках зони Бріллюена, показує тригональну симетрію електронних і діркових кишень.

Поверхня Фермі матеріалів зі складною кристалічною структурою — складна періодична поверхня, яка у більшості металів безперервним образом проходить через всю обернену ґратку (відкрита поверхня Фермі). Замкнена поверхня Фермі періодично повторюється в кожній комірці оберненого простору. У тих випадках, коли в металі є декілька частково заповнених зон, поверхня Фермі розпадається на кілька поверхонь(за кількістю незаповнених зон), що розміщені в одній комірці.^[6] Рисунок 2 ілюструє анізотропну поверхню Фермі графіту, який має на поверхні Фермі як електронні, так і діркові (з негативною ефективною масою) кишені через численні енергетичні зони, що перетинають енергію Фермі вздовж $\mathbf {k} _{z}$ напрямку.

Одним з методів, що враховує симетрію кристалу, побудови Фермі поверхні є наближення майже вільних електронів.^[27]^[6] У нульовому наближенні поверхня Фермі є сукупністю сфер радіуса $k_{\rm {F}}$ з центрами у точках оберненого простору, що відповідають $\mathbf {k} =2\pi \mathbf {K}$ , де $\mathbf {K}$ - довільний вектор оберненої ґратки. Часто в металах радіус поверхні Фермі $k_{\rm {F}}$ більше, ніж розмір першої зони Бріллюена, що призводить до того, що частина поверхні Фермі лежить у другій (або вище) зонах. Як і у випадку самої зонної структури, поверхню Фермі можна відобразити у схемі розширеної зони, де $\mathbf {k}$ дозволяється мати як завгодно великі значення, або в схемі зведеної зони, де хвильові вектори менше за модулем ${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$ (у 1-вимірному випадку) де $a$ — стала ґратки. У тривимірному випадку схема зведеної зони означає, що для будь-якого хвильового вектора $\mathbf {k}$ існує відповідна кількість обернених векторів решітки $\mathbf {K}$ , яка віднімається так, що новий вектор $\mathbf {k}$ тепер ближче до початку координат у $\mathbf {k}$ — просторі, ніж будь-який вектор $\mathbf {K}$ .

Тверді тіла з великою щільністю станів на рівні Фермі стають нестабільними при низьких температурах і мають тенденцію утворювати основні стани, де енергія конденсації надходить від відкриття щілини на поверхні Фермі. Прикладами таких основних станів є надпровідники, феромагнетики, конфігурації Яна-Теллера та хвилі спінової щільності.

Результати теоретичного обчислення поверхонь Ферми багатьох металів наведені в Fermi Surface Database^[4].

Експеримент ред.

Магнітні осциляції ред.

Електронні поверхні Фермі можна вивчати шляхом спостереження осциляцій термодинамічних і транспортних властивостей у магнітних полях , $H$ , наприклад, ефект де Гааза–ван Альфена (дГвА) і ефект Шубникова–де Гааза (ШдГ). Перше — це коливання магнітної сприйнятливості, а друге — питомого опору. Коливання є періодичними з $1/H$ і виникають через квантування енергетичних рівнів у площині, перпендикулярній до магнітного поля, явище, вперше передбачене Левом Ландау. Нові стани називаються рівнями Ландау і розділені енергією $\hbar \omega _{\rm {c}}$ де $\omega _{\rm {c}}=eH/m_{c}c$ називається циклотронною частотою, $e$ — це електронний заряд, $m_{c}$ — циклотронна маса електрона і $c$ — швидкість світла. У відомих роботах Ларс Онсагер ^[28] та Ілля Ліфшиць ^[29] довели, що період коливань $\Delta H$ пов'язаний з екстремальними (тобто максимальними або мінімальними) площинами поперечних перерізів поверхні Фермі перпендикулярно напрямку магнітного поля, $S_{m}(\epsilon _{F})$ , за рівнянням Ліфшиця - Онсагера ^[30]

$S_{m}(\epsilon _{F})={\frac {2\pi e\Delta H}{\hbar c}}$ .

Таким чином, визначення періодів коливань для різних напрямків прикладеного поля дозволяє визначити поверхню Фермі^[31]. Спостереження коливань дГвА та ШдГ потребує магнітних полів, достатньо великих, щоб розмір циклотронної орбіти був меншим за середню довжину вільного пробігу.

Фотоемісійна спектроскопія ред.

Рис. 3: Поверхня Фермі BSCCO, виміряна за допомогою ARPES. Експериментальні дані представлені у вигляді графіка інтенсивності в жовто-червоно-чорній шкалі. Зелений пунктирний прямокутник представляє зону Бріллюена площини CuO₂ BSCCO .

Найбільш безпосереднім експериментальним методом для визначення електронної структури кристалів у просторі імпульс-енергія (див. Обернена ґратка) і, отже, поверхні Фермі, є фотоелектронна спектроскопія з кутовим розділенням (ARPES, Angle-resolved photoemission spectroscopy). Приклад поверхні Фермі надпровідних купратів, виміряних за допомогою ARPES, показаний на Рис. 3.

Електрон - позитронна анігіляція ред.

Рис. 4: Поверхня Фермі міді в схемі зведеної зони, виміряна за допомогою 2D ACAR .^[32]

За допомогою анігіляції позитронів також можна визначити поверхню Фермі, оскільки процес анігіляції зберігає імпульс початкової частинки. Відповідна експериментальна техніка називається кутовою кореляцією випромінювання анігіляції (ACAR, Angular Correlation of Annihilation Radiation^[en]), оскільки вона вимірює кутове відхилення від 180 градусів обох квантів анігіляції. Таким чином можна зондувати щільність електронного імпульсу твердого тіла та визначити поверхню Фермі. Крім того, за допомогою спін-поляризованих позитронів можна отримати розподіл імпульсу для двох спінових станів у намагнічених матеріалах. ACAR має багато переваг і недоліків у порівнянні з іншими експериментальними методами: він не залежить від умов ультра високого вакууму, кріогенних температур, високих магнітних полів або повністю впорядкованих сплавів. Однак ACAR потребує зразків з низькою концентрацією вакансій, оскільки вони діють як ефективні пастки для позитронів. Таким чином в 1978 році було отримано перше визначення розмитої поверхні Фермі в 30 % сплаві. Поверхня Фермі міді, що була відбудована за допомогою ACAR, приведена на Рис.4.

Див. також ред.

Література ред.

Neil W. Ashcroft, N. David Mermin. Solid State Physics. — Harcourt College Publishers, 1976. — 229 с. — ISBN 0-03-083993-9.
Крэкнелл А., Уонг К. Поверхность Ферми. — Атомиздат, 1978. — 352 с.

Посилання ред.

Експериментальні поверхні Фермі деяких надпровідних купратів і рутенатів стронцію в «Фотоемісійна спектроскопія купратних надпровідників з роздільною кутовою здатністю (оглядова стаття)» (2002)
Експериментальні поверхні Фермі деяких купратів, дихалькогенідів перехідних металів, рутенатів та надпровідників на основі заліза в «Експерименти ARPES з ферміології квазі-2D металів (оглядова стаття)» (2014)
Dugdale, S. B. (1 січня 2016). Life on the edge: a beginner's guide to the Fermi surface. Physica Scripta (англ.). 91 (5): 053009. Bibcode:2016PhyS...91e3009D. doi:10.1088/0031-8949/91/5/053009. ISSN 1402-4896.

Примітки ред.

↑ Dugdale, S B (2016). Life on the edge: a beginner's guide to the Fermi surface. Physica Scripta. 91 (5): 053009. Bibcode:2016PhyS...91e3009D. doi:10.1088/0031-8949/91/5/053009. ISSN 0031-8949.
↑ Ashcroft, N.; Mermin, N. D. (1976). Solid-State Physics. ISBN 0-03-083993-9.
↑ Harrison, W. A. Electronic Structure and the Properties of Solids. ISBN 0-486-66021-4.
↑ ^а ^б VRML Fermi Surface Database
↑ Ziman, J. M. (1963). Electrons in Metals: A short Guide to the Fermi Surface. London: Taylor & Francis. OCLC 541173.
↑ ^а ^б ^в И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов (1971). Электронная теория металлов. Москва: Издательство "Наука".
↑ Ashcroft,Mermin, 1976, с. 2.
↑ Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik(нім.)
↑ Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern(нім.)
↑ ^а ^б ^в ^г Life on the edge: a beginner’s guide to the Fermi surface(англ.)
↑ The theory of the change in resistance in a magnetic field(англ.)
↑ Characteristic X-Rays from Metals in the Extreme Ultraviolet(англ.)
↑ Measuring the Fermi Surface(англ.)
↑ Metals: Electron Dynamics and Fermi Surfaces(англ.)
↑ Periodic Potentials and Bloch's Theorem(англ.)
↑ ^а ^б Крэкнелл,Уонг, 1978, с. 13.
↑ обратная решётка(рос.)
↑ бриллюэна зона(рос.)
↑ Ashcroft,Mermin, 1976, с. 30.
↑ ^а ^б Крэкнелл,Уонг, 1978, с. 18.
↑ ^а ^б Крэкнелл,Уонг, 1978, с. 19.
↑ ALKALI METALS(англ.)
↑ On the atomistic origin of the polymorphism and the dielectric physical properties of beryllium oxide(англ.)
↑ Fermi surfaces(англ.)
↑ (Reif, 1965)
↑ K. Huang, Statistical Mechanics (2000), p. 244
↑ У. Харрисон, Псевдопотенциал в теории металлов, изд. «Мир»,1968.
↑ L. Onsager, Philos. Mag. 43, 1006 (1952).
↑ И. М. Лифшиц, А. М. Косевич ДАН СССР, 96, 963—966, (1954).
↑ Лифшица - Онсагера квантование. Энциклопедия физики и техники.
↑ И. М. Лифшиц, А. В. Погорелов ДАН СССР, 96, 1143 (1954).
↑ Weber, J. A.; Böni, P.; Ceeh, H.; Leitner, M.; Hugenschmidt, Ch (1 січня 2013). First 2D-ACAR Measurements on Cu with the new Spectrometer at TUM. Journal of Physics: Conference Series (англ.). 443 (1): 012092. arXiv:1304.5363. Bibcode:2013JPhCS.443a2092W. doi:10.1088/1742-6596/443/1/012092. ISSN 1742-6596.

[Dugdale2016-1] Dugdale, S B (2016). Life on the edge: a beginner's guide to the Fermi surface. Physica Scripta. 91 (5): 053009. Bibcode:2016PhyS...91e3009D. doi:10.1088/0031-8949/91/5/053009. ISSN 0031-8949.

[2] Ashcroft, N.; Mermin, N. D. (1976). Solid-State Physics. ISBN 0-03-083993-9.

[3] Harrison, W. A. Electronic Structure and the Properties of Solids. ISBN 0-486-66021-4.

[:1-4] а ^б VRML Fermi Surface Database

[5] Ziman, J. M. (1963). Electrons in Metals: A short Guide to the Fermi Surface. London: Taylor & Francis. OCLC 541173.

[:0-6] а ^б ^в И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов (1971). Электронная теория металлов. Москва: Издательство "Наука".

[FOOTNOTEAshcroft,Mermin19762-7] Ashcroft,Mermin, 1976, с. 2.

[8] Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik(нім.)

[9] Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern(нім.)

[iop1-10] а ^б ^в ^г Life on the edge: a beginner’s guide to the Fermi surface(англ.)

[11] The theory of the change in resistance in a magnetic field(англ.)

[12] Characteristic X-Rays from Metals in the Extreme Ultraviolet(англ.)

[13] Measuring the Fermi Surface(англ.)

[14] Metals: Electron Dynamics and Fermi Surfaces(англ.)

[15] Periodic Potentials and Bloch's Theorem(англ.)

[FOOTNOTEКрэкнелл,Уонг197813-16] а ^б Крэкнелл,Уонг, 1978, с. 13.

[17] обратная решётка(рос.)

[18] бриллюэна зона(рос.)

[FOOTNOTEAshcroft,Mermin197630-19] Ashcroft,Mermin, 1976, с. 30.

[FOOTNOTEКрэкнелл,Уонг197818-20] а ^б Крэкнелл,Уонг, 1978, с. 18.

[FOOTNOTEКрэкнелл,Уонг197819-21] а ^б Крэкнелл,Уонг, 1978, с. 19.

[22] ALKALI METALS(англ.)

[23] On the atomistic origin of the polymorphism and the dielectric physical properties of beryllium oxide(англ.)

[24] Fermi surfaces(англ.)

[Reif1965dist341-25] (Reif, 1965)

[26] K. Huang, Statistical Mechanics (2000), p. 244

[27] У. Харрисон, Псевдопотенциал в теории металлов, изд. «Мир»,1968.

[28] L. Onsager, Philos. Mag. 43, 1006 (1952).

[:2-29] И. М. Лифшиц, А. М. Косевич ДАН СССР, 96, 963—966, (1954).

[30] Лифшица - Онсагера квантование. Энциклопедия физики и техники.

[31] И. М. Лифшиц, А. В. Погорелов ДАН СССР, 96, 1143 (1954).

[Weber2013-32] Weber, J. A.; Böni, P.; Ceeh, H.; Leitner, M.; Hugenschmidt, Ch (1 січня 2013). First 2D-ACAR Measurements on Cu with the new Spectrometer at TUM. Journal of Physics: Conference Series (англ.). 443 (1): 012092. arXiv:1304.5363. Bibcode:2013JPhCS.443a2092W. doi:10.1088/1742-6596/443/1/012092. ISSN 1742-6596.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]