Плюрісубгармонічна функція

Плюрісубгармнонічна функція — дійснозначна функція $u=u({\vec {z}})$, від $n$ комплексних змінних ${\vec {z}}=(z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ в області $D$ комплексного простору $\mathbb {C} ^{n}$, $n\geqslant 1$, яка задовольняє таким умовам:

1. $u(z)$ є напівнеперервною зверху усюди в $D$;
2. $u(z_{0}+\lambda a)$ є субгармонічною функцією змінної $\lambda \in \mathbb {C}$ в кожній зв'язаній компоненті відкритої множини $\{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\}$ для будь-яких фіксованих точок $z_{0}\in D$, $a\in \mathbb {C} ^{n}$.

Функція $v(z)$ називається плюрісупергармонічною функцією, якщо $-v(z)$ є плюрісубгармнонічною функцією.

Приклади

$\ln |f(z)|$, $|f(z)|^{p}$ при $p\geqslant 0$, де $f(z)$ — голоморфна функція в $D$.

Властивості

• Плюрісубгармонічні функції є субгармонічними, але обернене твердження є вірним лише при $n=1.$
• Для того щоб напівнеперервна зверху в області D функція u була плюрісубгармонічною, необхідно і достатньо, щоб для будь-яких фіксованих, $z,a\in \mathbb {C} ^{n},\;|a|=1$ існувало число $\epsilon =\epsilon (z,a)>0$ таке, що при $0<r<\epsilon$ виконується нерівність:

$u(z)\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(z+r\mathrm {e} ^{i\theta }a)\,d\theta ,$

• Для функцій $u(z),$ що належать класу $C^{2}(D),\;$ $u(z)$ є плюрігармонічною в D тоді і тільки тоді, коли ермітова форма:

$H_{z,u}(a,{\bar {a}})=\sum _{k,l=1}^{n}{\partial ^{2}u \over \partial z_{k}\partial {\bar {z}}_{l}}a_{k}{\bar {a}}_{l}$

є невід'ємно означеною для всіх $z\in D.$

Крім загальних властивостей субгармонічних функцій, для плюрісубгармонічних функцій справедливі наступні:

• $u(z)$ є плюрісубгармонічною функцією в області $D$ тоді і тільки тоді, коли $u(z)$ — плюрісубгармонічна функція в околі кожної точки $z\in D$;
• Лінійна комбінація плюрісубгармонічних функцій з додатними коефіцієнтами є плюрісубгармонічною функцією;
• Границі рівномірно збіжної і монотонно спадної послідовностей плюрісубгармонічних функцій є плюрісубгармонічними;
• Для будь-якої точки $z_{0}\in D$ середнє значення

$\oint \limits _{S_{r}(z_{0})}u$

по сфері радіуса $r$, є зростаючою функцією по $r$, опуклою щодо $\ln r$ на відрізку $0<r<R$, якщо куля $B_{R}(z_{0})$ повністю розміщена в $D$;

• При голоморфних відображеннях плюрісубгармонічна функція переходить в плюрісубгармонічну;
• Якщо $u(z)$ — неперервна плюрісубгармонічна функція в області $D$, $E$ — замкнута зв'язана аналітична підмножина $D$ і звуження $u|_{E}$ досягає максимуму на $E$, то $u(z)=\mathrm {const}$ на $E$;
• Функція $u(z)$ є плюрісубгармонічною в області D, тоді і тільки тоді, коли вона є границею спадної послідовності функцій $\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }$, де $u_{k}\in C^{\infty }$ і для відповідних областей виконуються включення $D_{k}\subset {\bar {D}}_{k}\subset D_{k+1}$ і також $\bigcup _{k=1}^{\infty }D_{k}=D.$

Див. також

• Плюрігармонічна функція
• Субгармонічна функція

Література

• Gunning, Robert C. (1990), Introduction to Holomorphic of Several Complex Variables. Vol. 1 Function theory, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13308-8.
• Herve, Michel (1971), Analytic and Plurisubharmonic Functions, Lecture Notes in Mathematics, т. 198, Springer-Verlag, ISBN 0-387-05472-3.
• Krantz, Steven G. (1992), Function Theory of Several Complex Variables, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second), Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, с. xvi+557, ISBN 0-534-17088-9, MR 1162310, Zbl 776.32001.
• Lelong, Pierre (1969), Plurisubharmonic functions and positive differential forms, Notes on mathematics and its applications, Gordon and Breach.