Відкрити головне меню

Субгармонічна функція

В математиці субгармонічними і супергармонічними функціями називають важливі класи функцій багатьох дійсних змінних, що є узагальненнями гармонічних функцій і мають широке застосування в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, комплексному аналізі, теорії потенціалу.

ОзначенняРедагувати

Нехай   Функція   змінної   називається субгармонічною якщо для неї виконуються умови:

  1.   є напівнеперервною зверху в  
  2. Якщо   — довільна замкнута куля з центром в   і радіусом   що міститься в   і   — дійснозначна неперервна функція визначена на   що є гармонічною в   і для якої   для всіх   на границі   кулі   то також   для всіх  
  3.  

Другу умову можна записати кількома еквівалентними способами, зважаючи на властивості гармонічних функцій. Зокрема в тих же позначеннях умову можна записати через інтеграл на сфері. Існує як завгодно мале число   таке що

 
де   — об'єм одиничної кулі в  

Еквівалентно умову можна записати через інтеграл по об'єму кулі:

 

Функція   називається супергармонічною якщо   є субгармонічною функцією.

Комплексні змінніРедагувати

Якщо   то вона є субгармонічною тоді і тільки тоді коли оператор Лапласа   є невід'ємним.

На комплексній площині функція комплексної змінної називається субгармонічною, якщо вона є субгармонічною функцією двох дійсних змінних (дійсної і уявної частини комплексної змінної). Тоді в позначеннях комплексного аналізу другу умову у визначенні можна записати як:

 

де коло і обмежений ним круг знаходяться в області визначення функції. Подібно поняття субгармонічних і супергармонічних функцій вводиться і для комплексних просторів вищих порядків.

Ріманів многовидРедагувати

Нехай Mріманів многовид і   є напівнеперервною функцією. f називається субгармонічною якщо для кожної відкритої підмножини   і довільної гармонічної функції f1 на U, для якої   на границі множини U, нерівність   виконується всюди на U.

Як і раніше для двічі неперервно диференційовних функцій рівносильною є умова на оператор Лапласа:  .

ВластивостіРедагувати

  • Функція є гармонічною тоді і тільки тоді, коли вона є одночасно субгармонічною і супергармонічною.
  • Якщо   є субгармонічними функціями в області   і   — додатні дійсні числа, то лінійна комбінація   теж є субгармонічною функцією.
  • Верхня межа   скінченної множини субгармонічних функцій   є субгармонічною функцією. Якщо супремум нескінченної множини субгармонічних функцій є напівнеперервною зверху функцією, то він є також субгармонічною функцією.
  • Рівномірно збіжна і монотонно спадна послідовності субгармонічних функцій збігаються до субгармонічних функцій.
  • Якщо   — субгармонічна функція в  , а  опукла неспадна функція на області значень функції   в  , або якщо  гармонічна функція в  , а   — опукла функція в тій же області значень, то   — субгармонічна функція в  . Зокрема, якщо   — субгармонічна функція в  , то  , і   де   є субгармонічними функціями в  ; якщо   — гармонічна функція в  , то   — субгармонічна функція в  .
  • Максимум субгармонічної функції не може досягатися у внутрішній точці її області визначення, якщо ця функція не є константою.Мінімум функції натомість може досягатися у внутрішній точці. Відповідно для супергармонічних функцій у внутрішніх точках області визначення може досягатися максимум функції але не мінімум.
  • Якщо   — субгармонічна функція в області   комплексного простору   і  голоморфне відображення області   в  , то   є субгармонічною функцією в  
  • Якщо   — субгармонічна функція у всій площині  , що є обмеженою зверху, то    при   аналогічне твердження не є правильним)

Середні значення субгармонічних функційРедагувати

  • Якщо   є субгармонічною функцією на кільці  , то визначені вище функції   і   (при  ), також  є опуклими, як функції від   при   і  при .
  • Якщо   є субгармонічною функцією на кулі то   і   є неперервними і неспадними функціями від   (вважається  ) і також для  
 
  • Функції   і   як функції   при фіксованих інших параметрах є субгармонійними функціями у своїх областях визначення і   також є неперервною функцією.

Теорема РісаРедагувати

Ньютонів потенціал і логарифмічний потенціал невід'ємних мас, взяті зі знаком мінус, є субгармонічними функціями всюди в просторі  .

З іншого боку, однією з основних в теорії субгармонічних функцій є теорема Ріса про локальне представлення довільної субгармонічної функції у вигляді суми гармонічної функції і взятого зі знаком мінус потенціалу.

Якщо   є субгармонічною функцією в області   просторі  , то для кожної компактної підмножини   справедливим є розклад:

 

і для розмірності 2,

 

де   — гармонічна функція,  міра Бореля в  .

Якщо   є зв'язаною компактною множиною, то також можна здійснити розклад:

 

де   — найкраща гармонічна мажоранта,  функція Гріна.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Πρивалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937;
  • Хейман У., Кеннеди П., Субгармонические функции, пер. с англ., М., 1980;
  • Rado T., Subharmonic functions, В., 1937;